Marche aléatoire avec élan

Considérez une marche aléatoire entière commençant à 0 avec les conditions suivantes:

• La première étape est plus ou moins 1, avec une probabilité égale.

• Chaque étape future est: 60% susceptibles d'être dans la même direction que l'étape précédente, 40% susceptibles d'être dans la direction opposée

Quelle sorte de distribution cela produit-il?

Je sais qu'une marche aléatoire sans élan donne une distribution normale. L'élan change-t-il simplement la variance ou change-t-il complètement la nature de la distribution?

Je cherche une réponse générique, donc par 60% et 40% au-dessus, je veux vraiment dire p et 1-p

Pour passer immédiatement à la conclusion, le «momentum» ne change pas le fait que la distribution normale est une approximation asymptotique de la distribution de la marche aléatoire, mais la variance passe de à n p / ( 1 - p ) . Cela peut être dérivé par des considérations relativement élémentaires dans ce cas particulier. Il n'est pas extrêmement difficile de généraliser les arguments ci-dessous à un CLT pour les chaînes de Markov d'espace d'états finis, par exemple, mais le plus gros problème est en fait le calcul de la variance. Pour le problème particulier, il peut$4np(1-p)$$np/(1-p)$être calculé, et j'espère que les arguments ci-dessous peuvent convaincre le lecteur que c'est la variance correcte.

En utilisant la perspicacité que Cardinal fournit dans un commentaire, la marche aléatoire est donnée comme où X k ∈ { - 1 , 1 } et les X k forment une chaîne de Markov avec une matrice de probabilité de transition ( p 1 - p 1 - p p ) . Pour des considérations asymptotiques lorsque n → ∞ la distribution initiale de X 1 ne joue aucun rôle, permet donc de fixer

$$S_n = \sum_{k=1}^n X_k$$ $X_k \in \{-1, 1\}$$X_k$ $$\left(\begin{array}{cc} p & 1-p \\ 1-p & p \end{array}\right).$$ $n \to \infty$$X_1$ pour les besoins de l'argument suivant, et supposons également que 0 < p < 1 . Une technique astucieuse consiste à décomposer la chaîne de Markov en cycles indépendants. Soit σ 1 la première fois, après l'instant 1, que la chaîne de Markov revient à 1. Autrement dit, si X 2 = 1 alors σ 1 = 2 , et si X 2 = X 3 = - 1 et X 4 = 1 alors σ 1 = $X_1 = 1$$0 < p < 1$$\sigma_1$$X_2 = 1$$\sigma_1 = 2$$X_2 = X_3 = -1$$X_4 = 1$$\sigma_1 = 4$. En général, notons le i ième temps de retour à 1 et soit τ i = σ i - σ i - 1 les temps d' inter-retour (avec σ 0 = 1 ). Avec ces définitions, nous avons$\sigma_i$$i$$\tau_i = \sigma_i - \sigma_{i-1}$$\sigma_0 = 1$

• Avec alors S σ n = X 1 + n ∑ i = 1 U i$U_i = \sum_{k = \sigma_{i-1}+1}^{\sigma_i} X_k$ $$S_{\sigma_n} = X_1 + \sum_{i=1}^n U_i.$$
• Puisque prend la valeur - 1 pour k = σ i - 1 + 1 , … , σ i - 1 et X σ i = 1, il considère que U i = 2 - τ i$X_k$$-1$$k = \sigma_{i-1}+1, \ldots, \sigma_{i}-1$$X_{\sigma_i} = 1$ $$U_i = 2 - \tau_i.$$
• Les temps d'inter-retour, , pour une chaîne de Markov sont iid (formellement en raison de la forte propriété de Markov) et dans ce cas avec la moyenne E ( τ i ) = 2 et la variance V ( τ i ) = 2 $\tau_i$$E(\tau_i) = 2$ . Il est indiqué comment calculer la moyenne et la variance ci-dessous.$V(\tau_i) = 2\frac{p}{1-p}$
• Le CLT ordinaire pour les variables iid donne que $$S_{\sigma_n} \overset{\text{asymp}}{\sim} N\left(0, \frac{2np}{1-p}\right).$$
• La dernière chose à noter, qui nécessite un petit acte de foi, car je laisse de côté les détails, est que , ce qui donne que S n asymp ∼ N ( 0 , n $\sigma_n = 1 + \sum_{i=1}^n \tau_i \sim 2n$ $$S_{n} \overset{\text{asymp}}{\sim} N\left(0, \frac{np}{1-p}\right).$$

Pour calculer les moments de on peut noter que P ( τ 1 = 1 ) = p et pour m ≥ 2 , P ( τ 1 = m ) = ( 1 - p ) 2 p m - 2 . Ensuite, des techniques similaires à celles utilisées lors du calcul des moments pour la distribution géométrique peuvent être appliquées. Alternativement, si X est géométrique avec une probabilité de succès 1 - p et Z $\tau_1$$P(\tau_1 = 1) = p$$m \geq 2$$P(\tau_1 = m) = (1-p)^2p^{m-2}$$X$$1-p$$Z = 1(\tau_1 = 1)$$1 + X(1-Z)$$\tau_1$

Van Belle's 'Rule of Thumb' 8.7 (from the second edition of his book) includes an approximation for the standard error of the mean when innovations have autocorrelation $\rho$. Translating this using $\rho = 2p - 1$ gives

$$\mbox{True standard error of }\bar{x} \approx \sqrt{\frac{p}{1-p}}\frac{s}{\sqrt{n}},$$ where $n \bar{x}$ is the position of the random walk after $n$ steps, and $s$ is the sample standard deviation (which will be, asymptotically in $n$, $\sqrt{1 - \bar{x}^2}$. The upshot is that I expect, as a rough approximation, that the standard deviation of $n \bar{x}$ should be around $\sqrt{n p/(1-p)}$.

edit: I had the wrong autocorrelation (or rather $p$ should have been interpreted differently); is now consistent (I hope!)