Quelle est la définition mathématique des paramètres de localisation / échelle / forme?

J'essaie de comprendre la définition exacte des paramètres de localisation / échelle / forme (par exemple, est appelé paramètre de forme et est paramètre d'échelle dans Pareto Type I). Mais les livres auxquels j'ai fait référence ( The Cambridge Dictionary of Statistics , HMC's Introduction to Mathematical Statistics , Feller's An Introduction to Probability Theory and its Applications , etc) seulement (apparemment) fournissaient des définitions descriptives de ces paramètres (le paramètre de localisation est appelé paramètre de centrage dans Feller's ). Wikipedia a fourni des définitions en termes de cdf et pdf mais sans aucune source donnée. $a$ $c$

Sur la base des concepts des statistiques non paramétriques (disons Ch.10 de la console HMC), je soupçonne que les paramètres de localisation / échelle / forme peuvent être définis comme suit:

Soit une variable aléatoire avec cdf . Un paramètre , où est une fonction, est un paramètre de localisation si et c'est un paramètre d'échelle si et c'est un paramètre de forme s'il ne s'agit ni d'un emplacement ni d'une échelle. $X$ $F_X$ $\theta=T(F_X)$ $T$
$\begin{aligned} T (F_{X + a}) & = T (F_{X}) + a, & \forall a \in R, \\ T (F_{a X}) & = a T (F_{X}), & \forall a \neq 0; \end{aligned}$ $\begin{align*}T(F_{X+a})&=T(F_X)+a,&&\forall a\in\mathbb{R},\\ T(F_{aX})&=aT(F_X),&&\forall a\neq0;\end{align*}$ $\begin{aligned} T (F_{a X}) & = a T (F_{X}), & \forall a > 0, \\ T (F_{X + b}) & = T (F_{X}), & \forall b \in R, \\ T (F_{- X}) & = T (F_{X}); \end{aligned}$ $\begin{align*}T(F_{aX})&=aT(F_X),&&\forall a>0,\\ T(F_{X+b})&=T(F_X),&&\forall b\in\mathbb{R},\\ T(F_{-X})&=T(F_X);\end{align*}$

Ai-je raison? Ou ai-je confondu certains concepts sans rapport?

mathematical-statistics nonparametric definition

— Francis
source

Mon intuition est que l'existence d'une telle fonctionnelle est unique jusqu'à une paramétrisation des paramètres. Je ne sais pas si une telle fonctionnalité existe toujours, et elles ne sont pas nécessairement linéaires. En outre, je pense que la deuxième propriété du paramètre location n'est pas nécessaire.

— Gumeo

@ Guðmundur Si la deuxième propriété d'un paramètre d'emplacement n'est pas supposée et que est une fonctionnelle satisfaisant la première propriété, alors pour tout réel , (défini comme pour toutes les distributions, ) satisfait également la première propriété, d'où ne serait pas unique.

T

$T$

b

$b$

T + b

$T + b$

(T + b) (F) = T (F) + b

$(T+b)(F) = T(F)+b$

F

$F$

T

$T$

— whuber

@whuber ça m'a manqué ... Je suis d'accord avec toi.

— Gumeo

@whuber Mais devrait-il être unique? Par exemple, pour la distribution symétrique, est la moyenne et la médiane, qui sont des fonctions distinctes.

T

$T$

μ

$\mu$

— Francis

@Francis Sur l'ensemble des distributions symétriques pour lesquelles à la fois la moyenne et la médiane sont définies, elles sont d'accord, de sorte qu'elles peuvent être considérées comme la même fonctionnelle. Néanmoins, je pense que vous avez raison de contester l'implication selon laquelle les paramètres de localisation doivent être uniques - ils n'ont pas besoin de l'être.

— whuber

Il est souvent vrai que ceux-ci correspondent à (une fonction du) premier, deuxième et troisième moment, comme l'a noté @ GuðmundurEinarsson. Cependant, il existe des exceptions: par exemple, pour une distribution de Cauchy, Evans, Hastings et Peacock (2000) appellent le premier paramètre un paramètre d'emplacement, mais il représente la médiane au lieu de la moyenne. La moyenne n'est même pas définie pour une distribution de Cauchy.

Une description plus globale mais moins précise serait:

le paramètre d'emplacement décale la distribution entière vers la gauche ou la droite
Le paramètre d'échelle comprime ou étire toute la distribution
le paramètre de forme modifie la forme de la distribution d'une autre manière.

Merran Evans, Nicholas Hastings et Brian Peacock (2000) Statistical Distributions , troisième édition. Wiley.

— Maarten Buis
source

Dans le cas de la médiane, nous pouvons définir (l'inverse donné existe), qui est une localisation fonctionnelle puisque et pour (facile à vérifier pour ):Je soupçonne que c'est ainsi que le paramètre de localisation est défini pour la distribution de Cauchy (c'est ce que vous entendez par Gauchy, non?).

T (F_{X}) = F_{X}^{- 1} (1 / 2)

$T(F_X)=F_X^{-1}(1/2)$

1 / 2 = P (X + a < F_{X + a}^{- 1} (1 / 2)) = P (X + a < F_{X}^{- 1} (1 / 2) + a) = 1 / 2

$1/2=P(X+a<F_{X+a}^{-1}(1/2))=P(X+a<F_{X}^{-1}(1/2)+a)=1/2$

a > 0

$a>0$

a < 0

$a<0$

1 / 2 = P (a X < F_{a X}^{- 1} (1 / 2)) = P (a X < a F_{X}^{- 1} (1 / 2)) = 1 / 2.

$1/2=P(aX<F_{aX}^{-1}(1/2))=P(aX<aF_{X}^{-1}(1/2))=1/2.$

— Francis

Mon erreur: Gauchy aurait dû être Cauchy. J'ai modifié la réponse pour le corriger.

— Maarten Buis du

@Maarten, vous voudrez peut-être changer votre réponse, j'ai supprimé la mienne pour ne pas provoquer de confusion supplémentaire.

— Gumeo