Lors du re-paramétrage d'une fonction de vraisemblance, suffit-il de simplement brancher la variable transformée au lieu d'un changement de formule de variables?

Supposons que j'essaye de re-paramétrer une fonction de vraisemblance qui est distribuée de façon exponentielle. Si ma fonction de vraisemblance d'origine est:

p (y ∣ θ) = θ e^{- θ y}

$p(y \mid \theta) = \theta e^{-\theta y}$

et je voudrais le re-paramétrer en utilisant , puisquen'est pas une variable aléatoire, mais un paramètre, suffit-il juste de le brancher? $\phi = \frac{1}{\theta}$ $\theta$

Ce que je veux dire explicitement, c'est:

p (y ∣ ϕ = \frac{1}{θ}) = \frac{1}{ϕ} e^{- \frac{1}{ϕ} y}

$p\left(y \mid \phi = \frac{1}{\theta}\right) = \frac{1}{\phi} e^{-\frac{1}{\phi} y}$

Si c'est le cas, je ne sais pas quelle est la théorie derrière cela. Ma compréhension est que la fonction de vraisemblance est une fonction du paramètre, alors pourquoi je n'ai pas besoin d'utiliser une formule de changement de variables me confond. Toute aide serait vraiment appréciée, merci!

regression bayesian mathematical-statistics

— user123276
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Vous n'avez pas besoin d'un jacobien dans votre transformée car c'est une distribution de probabilité sur , pas sur . Il doit s'intégrer à un dans , que vous utilisiez ou : Ce n'est que lorsque vous incluez une mesure (bayésienne) sur que le jacobien apparaît. Autrement dit, si est l'a priori sur $y$ $\theta$ $y$ $\theta$ $\phi$

\int p (y | θ) ré y = \int p (y | ϕ) ré y = 1

$\int p(y|\theta)\text{d}y = \int p(y|\phi)\text{d}y = 1$

θ

$\theta$

p (θ)

$p(\theta)$

θ

$\theta$ , alors la densité postérieure de

est

et la densité postérieure de

est

θ

$\theta$

p (θ | y) \propto p (θ) p (y | θ)

$p(\theta|y)\propto p(\theta) p(y|\theta)$

ϕ

$\phi$

qui implique le jacobien

p (ϕ | y) \propto p (y | ϕ) p (ϕ) = p (y | θ (ϕ)) p (θ (ϕ)) | \frac{\partial θ}{\partial ϕ} | \propto p (θ (ϕ) | y) | \frac{\partial θ}{\partial ϕ} |

$p(\phi|y)\propto p(y|\phi)p(\phi)=p(y|\theta(\phi))p(\theta(\phi))\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right|\propto p(\theta(\phi)|y)\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right|$

| \frac{\partial θ}{\partial ϕ} |

$\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right|$

— Xi'an
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p (θ | y) \propto p (y | θ) p (θ)

$p(\theta|y) \propto p(y|\theta)p(\theta)$

θ = \frac{1}{ϕ}

$\theta = \frac{1}{\phi}$

p (θ)

$p(\theta)$

p (θ | y)

$p(\theta|y)$

p (y | θ)

$p(y|\theta)$

Même dans ce cas, vous n'utilisez pas de jacobien sur la partie de vraisemblance.

— Xi'an