Le fait que mon fils italien aille à l'école primaire modifiera-t-il le nombre d'enfants italiens attendus dans sa classe?

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C’est une question qui découle d’une situation réelle, à propos de laquelle je suis vraiment perplexe quant à sa réponse.

Mon fils doit commencer l'école primaire à Londres. Comme nous sommes italiens, j'étais curieuse de savoir combien d'enfants italiens fréquentaient déjà l'école. J'ai posé la question à l'agent d'admission lors de ma candidature et elle m'a répondu qu'ils avaient en moyenne 2 enfants italiens par classe (sur 30).

Je suis maintenant au moment où je sais que mon enfant a été accepté, mais je n'ai aucune autre information sur les autres enfants. Les critères d'admission sont basés sur la distance, mais aux fins de cette question, je pense que nous pourrions supposer qu'elle est basée sur une répartition aléatoire d'un grand échantillon de candidats.

Combien d'enfants italiens sont censés être dans la classe de mon fils? Sera-ce plus proche de 2 ou 3?

probability self-study average

— utilisateur90213
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Cela me rappelle la vieille blague: "Je porte toujours une bombe lorsque je voyage, car quelle est la probabilité que deux personnes possèdent une bombe dans le même avion?"

— Bill the Lizard

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Le fait que l'agent d'admission vous ait dit qu'ils ont en moyenne deux enfants italiens par classe rend ces données "suspectes". Si cela provenait d'un calcul réel, vous vous attendriez à un nombre non arrondi. Il est donc possible que la vraie valeur soit de 1,51 ou 2,49, par exemple. De plus, étant donné que l'agent d'admission est plus susceptible d'essayer de "vous satisfaire" avec sa réponse, il se peut qu'il ait arrondi plutôt que vers le bas (s'il pensait que vous seriez ravi d'avoir votre enfant parmi d'autres Italiens), suggérant que la probabilité la distribution sur les valeurs proches de 2 serait non symétrique. Les réponses ci-dessous peuvent être adaptées.

— PatrickT

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@PatrickT "Mode" est un type de moyenne valide.

— Ian Ringrose

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Merci beaucoup les gars pour répondre. J'ai également posté une question similaire, mais avec un cadrage différent ( stats.stackexchange.com/questions/173969/… ), qui a été déclenchée par certaines de vos entrées / réponses.

— user90213

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@PatrickT Je pense qu'il y a beaucoup plus de gens mal éduqués qui seraient confus de 1,5 ("Comment avez-vous un demi-enfant?") Que de nerds de statistiques agacés par l'arrondissement excessif me parait plus probable. (En supposant que le nombre plus précis ne corresponde pas à 1,9 ou à 2.1, de toute façon.)

— Dan Neely

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Comme toujours, vous devez envisager un modèle probabiliste décrivant la manière dont l’école répartit les enfants entre les classes. Possibilités:

L'école veille à ce que toutes les classes aient le même nombre d'étrangers.
L'école essaie même de s'assurer que chaque nationalité est représentée à peu près pareil dans chaque classe.
L'école ne considère pas la nationalité du tout et distribue simplement au hasard ou sur d'autres critères.

Tout cela est raisonnable. Étant donné la stratégie 2, la réponse à votre question est non. Lorsqu'ils utilisent la stratégie 3, l'attente sera proche de 3, mais un peu plus petite. C'est parce que votre fils occupe une "fente" et que vous avez une chance de moins pour un Italien au hasard.

Lorsque l'école utilise la stratégie 1, les attentes augmentent également; combien dépend du nombre d'étrangers par classe.

Sans connaître votre école, il n'y a aucun moyen de répondre à cette question plus parfaitement. Si vous n'avez qu'un cours par an et que les critères d'admission sont les mêmes que ceux décrits ci-dessus, la réponse serait la même que pour le cours 3 ci-dessus.

Calcul pour 3 en détail:

E (X) = 1 + E (B (29, 2 / 30)) = 1 + 1.9333 = 2.9333.

$E(X) = 1 + E(B(29, 2/30)) = 1 + 1.9333 = 2.9333.$

X est le nombre d'enfants italiens dans la classe. Le 1 vient de l'enfant connu, les 29 sont du reste de la classe et 2/30 est la probabilité qu'un enfant inconnu soit italien, étant donné ce que dit l'école. B est la distribution binomiale.

Notez que commencer avec ne donne pas la bonne réponse, car savoir qu'un enfant spécifique est italien viole l'échangeable présumée par la distribution binomiale. Comparez cela avec le paradoxe garçon ou fille , où il est très important de savoir si un enfant est une fille ou de savoir que son aîné est une fille. $E(X|X\geq1)$

— Erik
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2

Faisons l'hypothèse binomiale et prenons . Il semble que le choix entre et puisse dépendre des hypothèses. Par exemple, si je suppose qu'un père italien à Londres risque fort d'être aussi perplexe que @ user90213 et qu'il va ensuite poser une question ici, le fait de voir cette question ne change pas beaucoup mes attentes. J'ai seulement appris qu'un enfant est italien et calculerait . Est-ce ce que vous appelez "échangeable"? Si d'autre part user90213 est mon ami proche et que je connais son fils, j'arriverais à votre réponse.

n = 30

$n=30$

E (X \sim B (30, 2 / 30) | X \geq 1)

$E(X\sim B(30,2/30)|X\ge1)$

E (B (29, 2 / 30))

$E(B(29,2/30))$

E (X | X \geq 1)

$E(X|X\ge1)$

— amibe dit de réintégrer Monica le

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@amoeba Sachant que dans une école et dans une classe spécifiques, l'utilisateur 90213 suffit à le distinguer des autres, cela ne dépend pas de la spécificité de votre relation avec l'utilisateur 90213. Mais il est difficile de savoir comment vous apprenez l’information. Par exemple, si vous demandez par courrier électronique que le plus âgé des enfants italiens d'une classe vous contacte par votre nom et que vous obteniez une réponse, vous choisirez l' approche même si vous pouvez distinguer l'enfant par la suite. Essayez de chercher Google pour le paradoxe fille-garçon ou même poser une question plus générale à ce sujet. Il y a beaucoup de discussion à ce sujet.

E (X | X > 1)

$E(X|X>1)$

— Erik

C'est vrai, merci Erik. Ce que je voulais dire dans le commentaire précédent ressemble à votre exemple d’e-mail. Si je suppose que tous les parents italiens d'une classe poseront une question ici, cette question revient exactement à se faire contacter par le plus âgé des enfants italiens. Il semble que nous sommes généralement d’accord, +1. Le lien wiki est effectivement intéressant.

— amibe dit de réintégrer Monica le

(+1) Mais perplexe pourquoi vous dites "Si vous n'avez qu'un cours par an [...]".

— Scortchi - Réintégrer Monica

@Scortchi Si l'école n'a qu'une classe par an, elle peut utiliser les deux stratégies dénommées 1 et 2, chaque enfant accepté à l'école cette année se retrouvant dans la même classe.

— Erik

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Une autre façon de regarder cela est au niveau des enfants individuels. En supposant que 30 enfants tirés au hasard parmi une population (ce que vous avez indiqué, vous pouvez le faire), nous pouvons revenir en arrière sur la probabilité approximative qu'un enfant italien soit tiré de cette population: = . $2/30$ $1/15$

Sachant que l’un des 30 est italien, il suffit de calculer la probabilité pour les autres enfants:

29 \cdot 1 / 15 = 29 / 15 = 1.933 \dots

$29 \cdot 1/15 = 29/15 = 1.933\ldots$

Ainsi, le fait de savoir que votre enfant est italien change le nombre prévu d'enfants italiens dans la classe à environ 2,933, ce qui est beaucoup plus proche de 3 que de 2.

— Thomas Cleberg
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Voici mes réflexions sur la façon d'aborder ceci:

Soit la variable aléatoire le nombre d'enfants italiens d'une classe actuellement de taille . Soit l’indicateur du nouvel enfant italien. Supposons que nous ajoutions l'enfant à cette classe. Alors le nombre attendu d'enfants italiens dans cette classe augmentée de taille est . Notez que l'indépendance n'a pas d'importance ici car nous n'utilisons que la linéarité des attentes. Si on sait que l' enfant est italien, alors avec une probabilité de 1, nous avons donc augmenté la valeur attendue de 1. $S_n$ $n$ $X$ $X$ $n+1$ $\mathbb E(S_n + X) = \mathbb E(S_n) + \mathbb E(X) = \mathbb E(S_n) + \mathbb P(X = 1)$ $X$ $X = 1$

— jld
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Il y aura donc enfants dans cette classe après l'addition de l'enfant italien?

n + 1

$n+1$

— Scortchi - Réintégrer Monica

Oui. Y a-t-il quelque chose qui me manque à ce sujet?

— jld

1

Cela dépend de la façon dont vous lisez la question. Supposons que les classes comptent exactement 30 enfants.

— Scortchi - Réintégrer Monica

1

J'ai peut-être mal compris la question. Je pensais qu'il était question de savoir comment l'addition d'un enfant italien connu change l'attente.

— jld

1

C’est un très bon point sur la possibilité de plafonner la taille des classes

— jld

1

Selon les informations du bureau d’admission, le nombre d’enfants italiens suit le binôme , en supposant l’indépendance. Maintenant que vous savez dans votre classe qu'il y a au moins un enfant italien, l'attente devient . Pour , la valeur est (si le calcul est correct). $\mathrm{Binom}(30, 2/30)$ $\mathbb{E}(X|X\geq1)$ $X\sim \mathrm{Binom}(30, 2/30)$ $2.28$

Modifier. Évaluation de l'espérance:

E [X | X \geq 1] = \sum_{i = 0}^{30} i P (X = i | X \geq 1) = \sum_{0}^{30} i \cdot \frac{P (X = i, X \geq 1)}{P (X \geq 1)} = \sum_{1}^{30} i \cdot \frac{P (i)}{1 - P (0)}

$E[X|X\geq1]=\sum_{i=0}^{30}iP(X=i|X\geq1)=\sum_0^{30}i\cdot \frac{P(X=i, X\geq1)}{P(X\geq1)}=\sum_1^{30}i\cdot \frac{P(i)}{1-P(0)}$

(notez le changement de la limite inférieure de la somme à la dernière étape)

— jf328
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1

Pouvez-vous élaborer sur l'attente conditionnelle?

— Antoni Parellada

3

Votre réponse est incorrecte. La bonne façon de calculer cela serait 1 (l'enfant connu) + E (B (29, 2/30)), ce qui donne 2,9333. Et l'hypothèse de la distribution binomiale est discutable.

— Erik

Une dernière chose que j'aimerais souligner: a) votre calcul de l’attente conditionnelle est erroné. Mais b) plus important encore, commencer par votre attente conditionnelle est incorrect. Le fait de savoir qu'un enfant spécifique est un Italien brise l'échangibilité supposée par la distribution binormale. Cela ressemble beaucoup au paradoxe garçon-fille ( en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox ), qui fait la différence que vous sachiez que l'enfant plus âgé est une fille ou qu'un des deux enfants est une fille.

— Erik

Grattez le commentaire a) ci-dessus. Mais b) est plus grave quand même;)

— Erik

Je suis d'accord. Pour OP, la distribution n'est plus binomiale (30, 2/30), mais bien 1 binôme (29, 2/30)

— jf328 le

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Non. Votre connaissance des événements imminents ne change rien à l'expérience typique de l'école.

— Marché
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-1. Ceci est incorrect, comme expliqué en détail dans d'autres réponses et commentaires ici.

— amibe dit de réintégrer Monica le

pardonner mon manque de mathématiques avancées, mais ce qui rend l'enfant de cette gent être pas un des enfants « typiquement 2 » .. telle que nous finissons par près de 3.?

— Mart

Voir stats.stackexchange.com/questions/173844/#comment328621_173844

— amibe dit de réintégrer Monica le

Mart: Imaginez que je lance une pièce de monnaie dix fois et compte les têtes; rien d’étrange à propos de la pièce ou de la façon dont je la lance. Je répète cette expérience plusieurs fois et, en moyenne, je vois presque exactement 5 têtes sur 10 lancers; vous obtenez des résultats (1 000 lancers au total, dont 50,3% étaient des têtes, ce qui correspond bien à la variation attendue pour une procédure de tirage au sort équitable; nous avons décidé que le processus semblait au moins pratiquement équitable.). Maintenant, je fais l'expérience une fois de plus avec vous et vous voyez que les 4 premiers lancers sont tous des têtes. Quel est le nombre attendu de têtes dans la série complète de dix lancers? 5? plus?

— Glen_b -Reinstate Monica

Notez que selon votre argument précédent, les quatre premiers "auraient pu être quatre des cinq attendus". Mais alors vous diriez qu'il y a moins de 50% de chance sur les six lancers à venir (en fait, vous dites qu'il n'y a qu'une chance sur six en moyenne). Comment la pièce pourrait-elle savoir arriver moins souvent?

— Glen_b -Reinstate Monica