Le paradoxe du magicien de prestige

Vous connaissez probablement l'astuce dans le film The Prestige :

[SPOILER DU FILM] Un magicien a trouvé un tour de magie impressionnant: il entre dans une machine, ferme la porte, puis disparaît et réapparaît de l'autre côté de la pièce. Mais la machine n'est pas parfaite: au lieu de simplement le téléporter, elle le duplique. Le magicien reste où il est et une copie est créée de l'autre côté de la pièce. Ensuite, le magicien dans la machine tombe discrètement dans un réservoir d'eau sous le plancher et se noie. Edit: La probabilité que la nouvelle copie du magicien se noie est de 1/2 (en d'autres termes, la nouvelle copie a 1/2 chances de se noyer et 1/2 chances de sauter dans la pièce). De plus, le réservoir d'eau ne tombe jamais en panne et les chances sont 1 que le magicien qui tombe dans le réservoir meure.

Le magicien n'aime donc pas vraiment faire ce tour, car "on ne sait jamais où l'on va être, de l'autre côté de la pièce ou noyé".

Maintenant, le paradoxe est le suivant: Imaginez que le magicien fasse 100 fois le tour. Quelles sont ses chances de survivre?

Edit, question supplémentaire: Quelles sont les chances du magicien de garder son cerveau physique et de ne pas en avoir un nouveau?

Analyse rapide: D'une part, il y a un magicien vivant et 100 magiciens noyés, donc ses chances sont de 1 sur 100.

D'un autre côté, chaque fois qu'il fait le tour, il a 1/2 chances de rester en vie, donc ses chances sont de rester en vie.$(1/2)^{100}=1/(2^{100})$

Quelle est la bonne réponse et pourquoi?

Cette erreur a été mise en évidence dans des conversations écrites entre Fermat, Pascal et d'éminents mathématiciens français en 1654 lorsque les deux premiers envisageaient le «problème des points». Un exemple simple est le suivant:

Deux personnes jouent sur le résultat de deux flips d'une pièce de monnaie équitable. Le joueur A gagne si l'un des flips est face à face; sinon, le joueur B gagne. Quelles sont les chances de gagner du joueur B?

Le faux argument commence par examiner l'ensemble des résultats possibles, que nous pouvons énumérer:

1. H : Le premier flip est des têtes. Le joueur A gagne.
2. TH : Seul le deuxième flip est en tête. Le joueur A gagne.
3. TT : Aucun flip n'est des têtes. Le joueur B gagne.

Parce que le joueur A a deux chances de gagner et B n'a qu'une seule chance, les chances en faveur de B sont (selon cet argument) 1: 2; c'est-à-dire que les chances de B sont de 1/3. Parmi ceux qui défendaient cet argument figurait Gilles Personne de Roberval , membre fondateur de l'Académie française des sciences.

L'erreur est évidente pour nous aujourd'hui, car nous avons été éduqués par des gens qui ont appris de cette discussion. Fermat a soutenu (correctement, mais de manière peu convaincante) que le cas (1) doit vraiment être considéré comme deux cas, comme si le jeu avait été joué à travers les deux flips quoi qu'il arrive. L'invocation d'une séquence hypothétique de flips qui n'a pas été réellement jouée rend beaucoup de gens mal à l'aise. De nos jours, nous pourrions trouver plus convaincant simplement de déterminer les probabilités des cas individuels: la chance de (1) est 1/2 et les chances de (2) et (3) sont chacune 1/4, d'où la chance que A gagne égale 1/2 + 1/4 = 3/4 et la chance que B gagne soit 1/4. Ces calculs reposent sur des axiomes de probabilité, qui ont finalement été réglés au début du XXe siècle, mais ont été essentiellement établis à l'automne 1654 par Pascal et Fermat et popularisés dans toute l'Europe trois ans plus tard par Christian Huyghens dans son bref traité sur la probabilité (le premier jamais publié), De ratiociniis in ludo aleae (calcul dans les jeux de hasard).

La présente question peut être modélisée en 100 tours de pièces, avec des têtes représentant la mort et des queues représentant la survie. L'argument pour "1 sur 100" (qui devrait être 1/101, soit dit en passant) a exactement le même défaut.

D'une part, il y a un magicien vivant et 100 magiciens noyés, donc ses chances sont de 1 sur 100.

Ce raisonnement suppose implicitement que chaque magicien est également susceptible d'être celui qui survit à la fin du processus. Cependant, seul l'original devrait supporter les 100 essais, et il aurait les pires cotes. Comparez l'original avec le dernier clone créé; il n'a besoin de survivre qu'une seule fois et il a 1 chance sur 2 d'être le seul survivant.

$\frac{1}{2^{100}}$

La probabilité qu'il survit est de 1 à chaque essai et la probabilité est de 1 qu'il meure à chaque essai (malgré la défaillance du réservoir d'eau). Après la duplication, il n'y a plus de "lui"; il y a des "lui".