Processus de mélange et de division

Sur la figure suivante à gauche, deux réalisations de processus ponctuels avec une densité (intensité) différente et sont mélangées en faisant correspondre le centre des zones d'appartenance pour construire un processus ponctuel au milieu avec une intensité . Ensuite, des points sélectionnés au hasard sous forme de deux ensembles extraits de celui-ci, comme illustré à droite. Questions: Est-ce que ? et ? Si deux à gauche étaient du Poisson PP, celui du milieu est-il un Poisson PP? Et les deux à droite?$\lambda_1$$\lambda_2$$\lambda$

$\lambda=\lambda_1+\lambda_2$$\lambda=\lambda_3+\lambda_4$

Pour répondre à cette question, nous avons besoin d'un peu de contexte et de notation. Dans la terminologie générale, désigne un processus ponctuel dans le plan, ce qui signifie que pour tout ensemble de Borel, , dans le plan, est une variable aléatoire de valeur entière (y compris ), qui compte le nombre des points . De plus, est une mesure pour chaque réalisation du procédé du point .$N$$A$$N(A)$$+\infty$$A$$A \mapsto N(A)$$N$

Le processus ponctuel est associé à la mesure d'espérance où l'attente est toujours bien définie, puisque , mais peut être . Il s'agit d'un exercice pour vérifier que est à nouveau une mesure. Pour éviter les problèmes techniques, supposons que , ce qui est également raisonnable si le processus ne vit vraiment que sur un ensemble borné tel que la boîte de la figure que l'OP a publiée. Elle implique que que pour tous .

$$A \mapsto \mu(A) := E(N(A))$$ $N(A) \geq 0$$+\infty$$\mu$$\mu(\mathbf{R}^2) < \infty$$N(A) < \infty$$A$

Les définitions et observations suivantes suivent.

• On dit que a une intensité si a une densité rapport à la mesure de Lebesgue, c'est-à-dire si $N$ $\lambda$$\mu$$\lambda$ $$\mu(A) = \int_A \lambda(x) \mathrm{d}x.$$
• Si et sont deux processus ponctuels, nous définissons la superposition comme la somme . Cela revient à superposer un motif de points au-dessus de l'autre.$N_1$$N_2$$N_1 + N_2$
• Si et sont deux processus ponctuels (indépendants ou non) d'intensités et alors la superposition a une intensité .$N_1$$N_2$$\lambda_1$$\lambda_2$$\lambda_1 + \lambda_2$
• Si et sont des processus de Poisson indépendants , la superposition est un processus de Poisson. Pour montrer cela, nous observons d'abord que est Poisson à partir des propriétés de convolution de la distribution de Poisson, puis que si sont disjoints alors sont indépendants car et sont indépendants et les processus de Poisson eux-mêmes. Ces deux propriétés caractérisent un processus de Poisson. $N_1$$N_2$$N_1(A) + N_2(A)$$A_1, \ldots, A_n$$N_1(A_1) + N_2(A_1), \ldots, N_1(A_n) + N_2(A_n)$$N_1$$N_2$

Résumé I: Nous avons montré que chaque fois qu'un processus ponctuel est une somme, ou superposition, de deux processus ponctuels avec des intensités, alors la superposition a pour intensité la somme des intensités. Si, par ailleurs, les processus sont indépendants de Poisson, la superposition est Poisson.

Pour la partie restante de la question, nous supposons que comme pour tous les ensembles singleton . Ensuite, le processus ponctuel est appelé simple. Les processus de Poisson avec des intensités sont simples. Pour un processus ponctuel simple, il y a une représentation de comme c'est-à-dire comme une somme de mesures de Dirac aux points aléatoires. Si sont des variables aléatoires de Bernoulli, un amincissement aléatoire est le processus ponctuel simple Il est tout à fait clair qu'avec cela signifie que . Si nous IID$N(\{x\}) \leq 1$$\{x\}$$N$

$$N = \sum_i \delta_{X_i},$$ $Z_i \in \{0,1\}$ $$N_1 = \sum_i Z_i \delta_{X_i}.$$ $$N_2 = \sum_i (1-Z_i) \delta_{X_i}$$ $N = N_1 + N_2$amincissement aléatoire, ce qui signifie que les sont tous indépendants et identiquement distribués avec une probabilité de succès , disons, alors De là, $Z_i$$p$
$$N_1(A) \mid N(A) = n \sim \text{Bin}(n, p).$$ $$E(N_1(A)) = E \big(E(N_1(A) \mid N(A))\big) = E(N(A)p) = p \mu(A).$$

Si est un processus de Poisson, il devrait être clair que pour puis sont à nouveau indépendants, et Cela montre que est un processus de Poisson. De même, est un processus de Poisson (avec mesure moyenne$N$$A_1, \ldots, A_n$$N_1(A_1), \ldots, N_1(A_n)$

$$\begin{array}{rcl} P(N_1(A) = k) & = & \sum_{n=k}^{\infty} P(N_1(A) = k \mid N(A) = n)P(N(A) = n) \\ & =& e^{-\mu(A)} \sum_{n=k}^{\infty} {n \choose k} p^k(1-p)^{n-k} \frac{\mu(A)^n}{n!} \\ & = & \frac{(p\mu)^k}{k!}e^{-\mu(A)} \sum_{n=k}^{\infty} \frac{((1-p)\mu(A))^{n-k}}{(n-k)!} \\ & = & \frac{(p\mu(A))^k}{k!}e^{-\mu(A) + (1-p)\mu(A)} = e^{-p\mu(A)}\frac{(p\mu(A))^k}{k!}. \end{array}$$ $N_1$$N_2$$(1-p)\mu$). Il reste à montrer que et sont en fait indépendants. Nous prenons un coin ici et disons qu'il suffit en fait de montrer que et sont indépendants pour arbitraire , et cela découle de $N_1$$N_2$$N_1(A)$$N_2(A)$$A$ $$\begin{array}{rcl} P(N_1(A) = k, N_2(A) = r) & = & P(N_1(A) = k, N(A) = k + r) \\ & = & P(N_1(A) = k \mid N(A) = k + r) P(N(A) = k + r) \\ & = & e^{-\mu(A)} {k+r \choose k} p^k(1-p)^{r} \frac{\mu(A)^{k+r}}{(k+r)!} \\ & = & e^{-p\mu(A)}\frac{(p\mu(A))^k}{k!} e^{-(1-p)\mu(A)}\frac{((1-p)\mu(A))^r}{r!} \\ & = & P(N_1(A) = k)P(N_2(A) = r). \end{array}$$

Résumé II: Nous concluons que l'amincissement aléatoire iid avec probabilité de succès d'un processus ponctuel simple, , avec une intensité conduit à deux processus ponctuels simples, et , avec des intensités et , respectivement, et est la superposition de et . Si, de plus, est un processus de Poisson, alors et sont des processus de Poisson indépendants.$p$$N$$\lambda$$N_1$$N_2$$p\lambda$$(1-p)\lambda$$N$$N_1$$N_2$$N$$N_1$$N_2$

Il est naturel de se demander si l'on pourrait éclaircir indépendamment sans supposer que les sont distribués de manière identique et obtenir des résultats similaires. C'est possible, mais un peu plus compliqué à formuler, car la distribution de doit alors être liée au manière ou d'une autre. Par exemple, pour une fonction donnée . Il est alors possible d'afficher le même résultat que ci-dessus mais avec l'intensité signifiant la fonction . Nous sautons la preuve. La meilleure référence mathématique générale couvrant les processus ponctuels spatiaux est Daley et Vere-Jones$Z_i$$Z_i$$X_i$$P(Z_i = 1 \mid N) = p(x_i)$$p$$p\lambda$$p(x)\lambda(x)$. Møller et Waagepetersen sont les deuxièmes plus proches des statistiques et des algorithmes de simulation .