OLS en termes de moyens et de taille d'échantillon

Étant donné un modèle:

$$y = \beta_0 + \beta_1 \cdot f + u$$

Où est factice si femelle et sinon, y est hauteur en cm. La taille de l'échantillon est au total. Plus loin et . Calculez les estimations des paramètres.$f$$=1$$0$$n_{female}=n_{male}=100 \rightarrow 200$$\bar{y}_{male} = 175$$\bar{y}_{female}=165$

Ma tentative:

En utilisant la formule bien connue:

$$\boldsymbol{\hat{\beta}} = (\boldsymbol{X}'\boldsymbol{X})^{-1} \boldsymbol{X}'\boldsymbol{y}$$ je reçois: $$\begin{bmatrix} 200 & 100 \\ 100 & 100 \\ \end{bmatrix} ^{-1} \begin{bmatrix} 170 \cdot 200 \\ 165 \cdot 200 \end{bmatrix}$$

Premièrement, les éléments dans $(\boldsymbol{X}'\boldsymbol{X})^{-1}$ , puisque $X$ n'est qu'un tas, il y a 100 femmes dans l'échantillon et il y a 200 hommes et femmes au total. Pour $\boldsymbol{X}'\boldsymbol{y}$ , le premier élément est la "grande moyenne" de 170, et le second est juste la moyenne de l'échantillon de taille pour les femmes. Les deux sont mis à l'échelle par 200, car je n'ai pas "réduit" $(\boldsymbol{X}'\boldsymbol{X})^{-1}$ .

Est-ce correct? Je demande, car la solution (lors de la multiplication) se traduit par des nombres (très) impairs.

L'approche est correcte, mais il y a une légère erreur numérique: il n'y a que femmes, pas . Les hauteurs moyennes pour les hommes et les femmes peuvent être converties en sommes via$100$$200$

$$\text{Sum of male heights} = 100 \times 175$$

et

$$\text{Sum of female heights} = 100 \times 165.$$

Par conséquent, la somme de toutes les hauteurs est

$$\text{Sum of all heights} = 100 \times 175 + 100\times 165 = 200 \times 170,$$

comme indiqué dans la question. Par conséquent, les équations normales sont

$$\pmatrix{200 & 100 \\ 100 & 100}\pmatrix{\hat\beta_0 \\ \hat\beta_1} = \pmatrix{200\cdot170 \\ 100 \cdot165}$$

( pas sur le côté droit), avec solution$165\cdot 200$

$$(\hat\beta_0, \hat\beta_1) = (175, -10).$$

Je suis assez confus. Qu'est-ce que veux dire? S'agit-il de résidus? Si oui, alors$u$

$\mathbf{X'X}$ =$\begin{bmatrix} 200 & 100 \\ 100 & 100 \end{bmatrix}$

depuis

$\mathbf{X} = \frac{\partial{y}}{\partial\beta} = \left[\begin{array}{cccc|cccc} \frac{\partial{y_1}}{\partial\beta_1} & \frac{\partial{y_2}}{\partial\beta_1} & ... & \frac{\partial{y_{n_f}}}{\partial\beta_1} & \frac{\partial{y_{{n_f}+1}}}{\partial\beta_1} & \frac{\partial{y_{{n_f}+2}}}{\partial\beta_1} & ... & \frac{\partial{y_{n_{{n_f}+{n_m}}}}}{\partial\beta_1} \\ \frac{\partial{y_1}}{\partial\beta_2} & \frac{\partial{y_2}}{\partial\beta_2} & ... & \frac{\partial{y_{n_f}}}{\partial\beta_2} & \frac{\partial{y_{{n_f}+1}}}{\partial\beta_2} & \frac{\partial{y_{{n_f}+2}}}{\partial\beta_2} & ... & \frac{\partial{y_{n_{{n_f}+{n_m}}}}}{\partial\beta_2} \\ \end{array}\right]^T$

=

$\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 1 & ... & 1 & 1 & 1 & ... & 1 \\ 0 & 0 & ... & 0 & 1 & 1 & ... & 1 \\ \end{array}\right]^T$

Quelques idées:

Étant donné votre équation, devrait être de 175 et = -10. Donc, pour la partie masculine et féminine, vous obtenez:$\beta_1$$\beta_2$

$f_m = 175 (+) -10 \times 0 + u = 175 + u$

$f_f = 175 (+) -10 \times 1 + u = 165 + u$

Puisque vous pouvez utiliser

$\mathbf{\beta} = \left(X'X\right)^{-1}X^{T}\mathbf{y}$

à résoudre pour en utilisant le pseudoinverse de Moore-Penrose .$\beta$

$\left(\left(X'X\right)^{-1}X^{T}\right)^{+}\beta=\left(\left(X'X\right)^{-1}X^{T}\right)^{+}\begin{bmatrix} 175 \\ -10 \end{bmatrix}=\mathbf{y}$

Maintenant contient:$\mathbf{y}$

$\mathbf{y} \approx \begin{bmatrix} 165_{f_1} & 165_{f_2} & ... 165_{f_{100}} & 175_{m_1} & 175_{m_2} & ... 175_{m_{100}} \end{bmatrix}^T$

J'espère que cela aide!