Prouver une séquence diminue (soutenu par le traçage d'un grand nombre de points)

Bon nombre des questions que j'ai postées sur SE le mois dernier visaient à m'aider à résoudre ce problème particulier. Toutes les questions ont été répondues, mais je ne peux toujours pas trouver de solution. J'ai donc pensé que je devrais simplement poser le problème que j'essaie de résoudre directement.

Soit , où F n = ( 1 - ( 1 - F n - 1 ) c ) c , F 0 = x , c ≥ 2 (entier), et chaque F n est un cdf sur ( 0 , 1 ) .$X_n \sim F_n$$F_n = (1-(1-F_{n-1})^c)^c$$F_0 = x$$c\geq 2$$F_n$$(0,1)$

Je veux prouver que décroît avec n pour tout c (ou même, pour tout c particulier )! Je peux montrer que F n converge vers une masse de Dirac à la solution unique de x c = ( 1 - ( 1 - x ) c ) c ) Pour c = 2 , x 2 = ( 3 - $\mathbb{E}X_n$$n$$c$$c$$F_n$$x_c = (1-(1-x)^c)^c)$$c=2$. Quand on regarde un tracé de cdfs pour augmenternpour le mêmec, tous les cdfs se croisent enxn. La valeur deF(x)diminue pour des valeurs dexinférieures àxnet augmente pour des valeurs dexsupérieures puisxn(lorsquenaugmente) convergeant vers une ligne verticale àxn.$x_2 = (3-\sqrt{5})/2 \approx .38$$n$$c$$x_n$$F(x)$$x$$x_n$$x$$x_n$$n$$x_n$

Vous trouverez ci-dessous un tracé de pour n = 1 à 40 pour c = 2 à 7 . C'est bien sûr une intrigue discrète, mais j'ai les lignes jointes pour en faciliter la visualisation. Pour générer ce tracé, j'ai utilisé NIntegrate dans Mathematica, même si je devais le faire sur 1 - F - 1 n , car pour une raison quelconque, Mathematica n'a pas pu générer de réponses sur des valeurs élevées de n pour la fonction d'origine. Les deux devraient être équivalents, selon le théorème de Young, ∫ 1 0 F ( x $\mathbb{E}X_n$$n = 1$$40$$c = 2$$7$$1-F^{-1}_n$$n$ . Dans mon cas, F - 1 n ( x ) = 1 - ( 1 - ( F - 1 n - 1 ) $\int_0^1F(x)\,dx = \int_0^1 1-F^{-1}(x)\,dx$ ,F - 1 n=x.$F^{-1}_n(x) = 1-(1-(F^{-1}_{n-1})^{\frac{1}{c}})^{\frac{1}{c}}$$F^{-1}_n = x$

Comme vous pouvez le voir, l' se déplace très rapidement à une minute de distance de son point fixe x c . Lorsque c augmente, le point fixe diminue (finira par passer à 0).$EX_n$$x_c$$c$

Donc, il semble certainement vrai que diminue avec n pour tout c . Mais je ne peux pas le prouver. Quelqu'un peut m'aider? (encore une fois, je serais quelque peu satisfait, même avec un seul c ). Et si vous ne le pouvez pas, mais vous avez une idée de la raison pour laquelle ce problème particulier peut être insoluble, veuillez également partager cette idée. $EX_n$$n$$c$$c$

Ceci a été répondu sur MO par Pietro Majer ici .