Dériver P (C | A + B) des deux règles de Cox

Je travaille mon chemin (auto-apprentissage) à travers le livre d'ET Jaynes Probability Theory - The Logic of Science

Problème d'origine

L'exercice 2.1 dit: "Est-il possible de trouver une formule générale pour analogue à [la formule ] à partir des règles de produit et de somme. Si oui, dérivez-la; sinon, expliquez pourquoi cela ne peut pas être fait. "$p(C|A+B)$$p(A+B|C)=p(A|C)+p(B|C)-p(AB|C)$

Givens

Les règles avec lesquelles je dois travailler sont:

$p(AB | C) = p(A|C)p(B|AC) = p(B|C)p(A|BC)$ et$p(A|B)+p(\bar{A}|B)=1$

Où nous pouvons également utiliser des identités logiques pour manipuler des propositions. Par exemple:$A+B=\overline{\bar{A}\bar{B}}$

Hypothèse de solvabilité

Je crois que cela doit être possible car il n'introduit pas d'autres règles plus tard et avoir une simple combinaison logique de propositions qui n'était pas facilement exprimable irait à l'encontre de la thèse centrale de Jaynes. Cependant, je n'ai pas pu dériver la règle.

Ma tentative

Pour éviter de me tromper en raison de l'utilisation des mêmes noms de variables que les données, je résous le problème en:

Dériver une formule pour$p(X|Y+Z)$

Introduire une tautologie pour le conditionnement

Jusqu'à présent, ma meilleure tentative pour le résoudre a été d'introduire une proposition qui est toujours vraie. Ainsi je peux réécrire en (puisque la vérité est l'identité multiplicative).$W$$Y+Z$$(Y+Z)W$

Ensuite, je peux écrire:

$p(X|Y+Z)=p(X|(Y+Z)W)$

Donc, en réécrivant l'un des données comme la règle de Bayes: , je peux écrire:$p(A|BC)=\frac{p(B|AC)p(A|C)}{p(B|C)}$

$p(X|(Y+Z)W)=\frac{p(Y+Z|XW)p(X|W)}{p(Y+Z|W)}=\frac{p(Y+Z|X)p(X|W)}{p(Y+Z|W)}$

Pourquoi cela ne fonctionne pas

Le terme est facile à traiter. (Son expansion est mentionnée dans la définition du problème.)$p(Y+Z|X)$

Cependant, je ne sais pas quoi faire avec et . Il n'y a aucune transformation logique que je puisse appliquer pour me débarrasser du , et je ne peux pas penser à une quelconque façon d'appliquer les règles données pour y arriver.$p(X|W)$$p(Y+Z|W)$$W$

D'autres endroits où j'ai regardé

J'ai fait une recherche Google, qui a fait apparaître cette page de forum . Mais l'auteur fait la même chose que j'ai essayé sans voir la difficulté que j'ai avec le conditionnement résultant sur la tautologie introduite.

J'ai également recherché stats.stackexchange.com pour "Jaynes" et aussi pour "Exercice 2.1" sans trouver de résultats utiles.

Je ne suis pas sûr de ce que Jaynes considère comme analogue à mais les étudiants ont joyeusement utilisé un ou plusieurs des éléments suivants sur les devoirs et les examens: Pensez-vous que ces éléments sont corrects?$P(A\cup B \mid C) = P(A \mid C) + P(B \mid C) - P(AB \mid C)$

Remarque: Changer mon commentaire (maintenant supprimé) en un addendum à ma réponse, les règles permettent les manipulations suivantes: Le premier introduit le conditionnement sur un sous - ensemble de , mais ne supprime pas le conditionnement sur . La seconde n'élimine pas aussi le conditionnement sur . Ainsi, toute manipulation de inclura toujours des termes de la forme , et ne peut pas être exprimé en termes de , , , etc. sans inclure les probabilités conditionnées par$P(AB \mid C) = P(A\mid C)P(B \mid AC); P(A \mid C) = 1 - P(A^c \mid C).$$C$$C$$C$$P(A\mid B \cup C)$$P(X\mid B \cup C)$$P(A\mid B \cup C)$$P(A \mid B)$$P(A \mid C)$$P(A \mid BC)$$B \cup C$ également.

Pour des problèmes comme celui-ci, il est parfois utile de penser moins aux formules et de dessiner à la place une image (dans ce cas, un diagramme de Venn).

Maintenant, regardez l'image et essayez de visualiser ce que représente. Si vous pouvez le retirer de l'image, vous verrez qu'il existe plusieurs façons valables de l'écrire (deux façons me viennent à l'esprit). Si vous êtes toujours bloqué, essayez de revenir à la preuve habituelle de la règle d'addition générale ordinaire pour obtenir des conseils.$P(C | A \cup B)$

Rappelez-vous: une probabilité conditionnelle concentre toute sa masse de probabilité sur l'événement de conditionnement (dans ce cas, ). L'idée est de se concentrer sur les endroits où coupe cet événement.$A \cup B$$C$

Soit dit en passant, le code R de la figure est

library(venneuler)
vd <- venneuler(c(A=0.2, B=0.2, C=0.2, "A&B"=0.04, "A&C"=0.04, "B&C"=0.04 ,"A&B&C"=0.008))
plot(vd)

Le théorème de Bayes donne Maintenant, en utilisant les règles de somme conditionnelles et inconditionnelles, nous avons Bien sûr, la question est de savoir si cette formule serait "assez analogue" pour Jaynes.

Vous ne pouvez pas vous débarrasser de la tautologie. Je pense que vous êtes censé simplement ajouter la tautologie et appliquer la règle du produit, puis la règle de somme et vous obtenez:

où toutes les probabilités sont exprimées comme postérieures à la tautologie. Je pense que c'est l'équivalent le plus similaire à la règle de somme que vous pouvez obtenir pour ce problème, donc ce serait la solution.

Notez que si vous ajoutez la condition (c'est-à-dire que et s'excluent mutuellement) vous obtenez la même expression que vous devez prouver dans le problème 2.2, cela indiquerait que cette solution est très probablement correcte (par Induction bayésienne;).$p(AB|W)=0$$A$$B$

En suivant uniquement les règles de Cox, en prenant $W=X$ comme dans le livre de Jaynes, nous avons la solution de MastermindX:

La solution pour Ex. 2.1 suit l'intention du chapitre 2 de la règle du produit: "nous recherchons d'abord une règle cohérente concernant la plausibilité du produit logique$AB$ à la plausibilité de $A$ et $B$ séparément "(page 24). De plus, pour les propositions mutuellement exclusives $A$ et $B$, ceci est égal à l'équation. (2,67) dans l'Ex. 2.2, si nous prenons$\{A_{1} = A$, $A_{2} = B\}$; également indiqué par MastermindX. Notez que Jaynes lui-même ne se débarrasse pas des informations supplémentaires$X$sur Eq. (2.67), donc je pense que c'est la solution attendue pour les deux exercices.