Quelle est la condition nécessaire pour qu'un estimateur sans biais soit UMVUE?

Selon le théorème de Rao-Blackwell , si la statistique est suffisante et complète pour , et , alors est un estimateur sans biais à variance minimale uniforme (UMVUE).$T$$\theta$$E(T)=\theta$$T$

Je me demande comment justifier qu'un estimateur non biaisé soit une UMVUE:

1. si n'est pas suffisant, peut-il s'agir d'une UMVUE?$T$
2. si n'est pas complet, peut-il s'agir d'une UMVUE?$T$
3. Si n'est pas suffisant ou complet, peut-il s'agir d'une UMVUE?$T$

Sur une estimation impartiale de la variance minimale uniforme lorsqu'aucune statistique complète suffisante n'existe par L. Bondesson donne quelques exemples d'UMVUE qui ne sont pas des statistiques suffisantes complètes, y compris la suivante:

Soit des observations indépendantes d'une variable aléatoire , où et sont inconnus, et est gamma distribué avec le paramètre de forme connu et le paramètre d'échelle connu . Alors est l'UMVUE de . Cependant, quand alors il n'y a pas de statistique suffisante complète pour .$X_1, \ldots, X_n$$X = \mu + \sigma Y$$\mu$$\sigma$$Y$$k$$\theta$$\bar{X}$$E(X) = \mu + k\theta\sigma$$k \neq 1$$(\mu, \sigma)$

Montrons qu'il peut y avoir une UMVUE qui n'est pas une statistique suffisante.

Tout d'abord, si l'estimateur prend (disons) la valeur sur tous les échantillons, alors clairement est une UMVUE de , ce dernier pouvant être considéré comme une fonction (constante) de . En revanche, cet estimateur n'est clairement pas suffisant en général.$T$$0$$T$$0$$\theta$$T$

Il est un peu plus difficile de trouver un UMVUE du "tout" paramètre inconnu (plutôt qu'un UMVUE d'une fonction de celui-ci) de telle sorte que ne soit pas suffisant pour . Par exemple, supposons que les "données" ne soient données que par un rv normal , où est inconnu. Clairement, est suffisant et complet pour . Soit si et si , et soit ; comme d'habitude, on note et$Y$$\theta$$Y$$\theta$$X\sim N(\tau,1)$$\tau\in\mathbb{R}$$X$$\tau$$Y=1$$X\ge0$$Y=0$$X<0$
$\theta:=\mathsf{E}_\tau Y=\mathsf{P}_\tau(X\ge0)=\Phi(\tau)$$\Phi$$\varphi$, respectivement, le cdf et le pdf de . Donc, l'estimateur est sans biais pour et est fonction de la statistique complète suffisante . Par conséquent, est une UMVUE de .$N(0,1)$
$Y$$\theta=\Phi(\tau)$$X$$Y$$\theta=\Phi(\tau)$

En revanche, la fonction est continue et strictement croissante sur , de à . Ainsi, la correspondance est une bijection. Autrement dit, nous pouvons re-paramétrer le problème, de à , d'une manière un à un. Ainsi, est une UMVUE de , non seulement pour "l'ancien" paramètre , mais aussi pour le "nouveau" paramètre . Cependant, n'est pas suffisant pour et donc pas suffisant pour$\Phi$$\mathbb{R}$$0$$1$$\mathbb{R}\ni\tau=\Phi^{-1}(\theta)\leftrightarrow\theta=\Phi(\tau)\in(0,1)$$\tau$$\theta$$Y$$\theta$$\tau$$\theta\in(0,1)$$Y$$\tau$$\theta$ . En effet, as ; ici nous avons utilisé l'équivalence asymptotique connue as , qui suit la règle de l'Hospital. Donc, dépend de et donc de , ce qui montre que n'est pas suffisant pour (alors que

$$\begin{multline*} \mathsf{P}_\tau(X<-1|Y=0)=\mathsf{P}_\tau(X<-1|X<0)=\frac{\mathsf{P}_\tau(X<-1)}{\mathsf{P}_\tau(X<0)} \\ =\frac{\Phi(-\tau-1)}{\Phi(-\tau)} \sim\frac{\varphi(-\tau-1)/(\tau+1)}{\varphi(-\tau)/\tau}\sim\frac{\varphi(-\tau-1)}{\varphi(-\tau)}=e^{-\tau-1/2} \end{multline*}$$ $\tau\to\infty$$\Phi(-\tau)\sim\varphi(-\tau)/\tau$$\tau\to\infty$$\mathsf{P}_\tau(X<-1|Y=0)$$\tau$$\theta$$Y$$\theta$$Y$ est un UMVUE pour ).$\theta$