Qu'est-ce que l'Alpha de Cronbach intuitivement?

J'essaie de comprendre l'Alpha de Cronbach de manière intuitive. Quelle est l'idée générale derrière cette construction? Quelles propriétés essayaient-ils de garantir?

— Casebash
source

Je pense que pour apprendre la théorie pourquoi l'alpha est l'une des mesures de «fiabilité», vous devez choisir un petit texte sur Internet. Si vous demandez "qu'est-ce que l'alpha selon sa formule", je pourrais répondre qu'il s'agit presque d'une covariance moyenne normalisée (et d'une corrélation alpha-moyenne normalisée).

— ttnphns

Vous pouvez voir ce que cela signifie en étudiant la formule:

α = \frac{K}{K - 1} (1 - \frac{\sum σ_{x_{i}}^{2}}{σ_{T}^{2}})

$\alpha = \frac{K}{K-1}\left(1-\frac{\sum \sigma^2_{x_i}}{\sigma^2_T}\right)$

où . est le score total d'un test avec éléments, chacun ayant , respectivement. $T=x_1 + x_2 + ... x_K$ $T$ $K$ $x_i$

Décompressez la formule en utilisant ce que nous savons de la covariance d'une somme de RV.

Si les éléments de test sont indépendants (pensez à hasard, questions Trivial Pursuit), alors la variance de est la somme des variances de et . $K$ $T$ $x_i$ $\alpha=0$
Supposons que les soient en fait la même question répétée fois. Alors , et une petite algèbre montre que . $x_i$ $K$ $\sigma^2_T=K^2 \sigma^2_x$ $\alpha=1$

Ce sont les cas extrêmes. Normalement, il y aura des corrélations positives entre les éléments (en supposant que tout est codé dans la même direction), donc le rapport des variances sera inférieur à 1. Plus les covariances sont grandes, plus la valeur de . $\alpha$

N'oubliez pas qu'il existe des covariances dans le pour obtenir la variance de , vous devez donc que la plupart des choses soient raisonnablement corrélées avec la plupart des autres variables pour obtenir un sain . Il s'agit, comme l'a souligné @ttnphns, d'une covariance moyenne presque normalisée . $K(K-1)/2$ $x_i$ $T$ $\alpha$

σ_{T}^{2} = \sum σ_{x_{i}}^{2} + 2 \sum_{i < j}^{K} c o v (x_{i}, x_{j})

$\sigma^2_T = \sum \sigma^2_{x_i} + 2 \sum_{i < j}^K {\rm cov}(x_i,x_j)$

Ce terme est au numérateur du rapport des variances, donc plus il augmente, plus ce rapport devient petit et la quantité se rapproche de 1.

Alors qu'est-ce que cela implique? Prenons une situation de test très simple, où chaque élément est corrélé avec un facteur sous-jacent avec le même chargement, donc:

x_{i} = λ ξ + ϵ_{i}

$x_i = \lambda \xi + \epsilon_i$

Les covariances sont alors de la forme . Si est assez grand, par rapport au bruit , je vais obtenir quelque chose près de 1. En fait, si nous normalisons pour que $\lambda^2$ $\lambda$ $\epsilon$ $\sigma^2_x=1$

α = \frac{K}{K - 1} (1 - \frac{1}{1 + (K - 1) λ^{2}})

$\alpha = \frac{K}{K-1}\left(1-\frac{1}{1+(K-1)\lambda^2}\right)$

et est fondamentalement une version monotone, si non linéaire, de la charge factorielle. $\alpha$

Malheureusement, l'inverse n'est pas vrai, et de grandes valeurs peuvent être obtenues à partir d'une variété de structures de facteurs, ou vraiment pas du tout. Les éléments doivent être corrélés, en moyenne, mais cela ne veut pas dire grand-chose. Le Cronbach alpha est une statistique de test qui reçoit beaucoup trop de publicité, à mon avis, pour ce qu'elle vaut. De nos jours, il n'y a aucune raison de ne pas effectuer une analyse factorielle et de confirmer si les éléments de test fonctionnent comme on le pense. $\alpha$

Le graphique suivant montre la valeur de quand il y a 20 articles avec des chargements identiques, comme ci-dessus. $\alpha$

Les psychologues aiment obtenir un supérieur à 0,80, mais cela est réalisable avec une charge de 0,5 - pas exactement un élément de test serré. $\alpha$

— Placidia
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Ne devrait-il pas y avoir k (k-1) / 2 covariances, au lieu de k?

— Casebash