Erreur systématique / de mesure sur une régression linéaire

Supposons que j'ai un ensemble de données ${(x_i,y_i)}$ dans lequel l'incertitude des mesures ${(\Delta x_i,\Delta y_i)}$(qui proviennent de la propagation d'erreurs systématiques de l'appareil de mesure) est différent pour chaque point. Si je fais une régression linéaire sur l'ensemble de données, comment puis-je calculer l'incertitude de la pente? Je voudrais une procédure ou une formule explicite.

Nous pouvons modéliser l'expérience comme

$$x_i=x_i^*+\tilde u_i$$ $$y_i=y_i^*+\tilde v_i$$ $$\tilde u_i=\bar u + v_i$$ $$\tilde v_i=\bar v + u_i$$ où $x_i^*, y_i^*$ dénoter les vraies valeurs, $\tilde u_i,\tilde v_i$ sont des erreurs de mesure, $\bar u,\bar v$ leurs composants "fixes" sont-ils indépendants de l'observation (qui pourraient résulter d'un mauvais étalonnage des capteurs) et $u,v$ varient d'une observation à l'autre et correspondent à de nombreux facteurs possibles que nous considérons comme aléatoires.

Une régression linéaire simple est

$$y_i^*=\alpha+\beta x_i^*+e_i$$ et l'estimation OLS de la pente est $$\hat\beta=\frac{Cov(x^*,y^*)}{Var(x^*)}$$ Ce que nous obtenons est cependant $$\tilde\beta=\frac{Cov(x,y)}{Var(x)}=\frac{Cov(x^* + u,y^*+ v)}{Var(x^* + u)}=\frac{Cov(x^*,y^*)+Cov(x^*,v)+Cov(y^*,u)+Cov(u,v)}{Var(x^*) + Var(u) + 2Cov(x,u)}$$

Supposons maintenant que $v,u$ ne sont pas corrélés avec $x^*,y^*$et mutuellement (une hypothèse assez forte qui peut être améliorée si nous avons plus d'inférences sur la nature des erreurs). Alors notre estimation est

$$\tilde\beta=\beta\frac{\sigma^2_{x^*}}{\sigma^2_{x^*}+\sigma^2_{u}}\approx\beta\frac{\hat\sigma^2_x-\hat\sigma^2_u}{\hat\sigma^2_x}=\beta\hat\lambda$$ On peut estimer $\hat\sigma^2_x$ comme variation d'échantillon de $x_i$. Nous devons également estimer$\sigma^2_u$. Si nous avons une expérience quand nous pouvons observer$x^*_i$ plusieurs fois, alors une approche simple consiste à estimer $\sigma^2_u=E[\sigma^2_x|x^*_i$].

Maintenant, nous pouvons utiliser notre $\hat\sigma^2_{\tilde\beta}$ calculé avec, par exemple, la méthode bootstrap, et le corriger pour $\hat\beta =\tilde\beta /\hat\lambda$ pour que

$$\hat\sigma^2_{\hat\beta}=\frac{\hat\sigma^2_{\tilde\beta}}{\hat\lambda^2}$$ .

Je pense que la réponse donnée par @yshilov est vraiment impressionnante en considérant l'erreur de mesure dans le terme d'erreur et de manière significative, déduit le résultat

$$\tilde \beta = \beta \frac{\sigma_x^2}{\sigma_x^2 + \sigma_u^2}$$

Pour élaborer, ce bêta a des propriétés spéciales qu'il est un estimateur biaisé, mais biaisé vers 0. Plus précisément, pour la régression linéaire, $E(\hat \beta_1)=\beta_1 \cdot\Big[\frac{\sigma_x^2+\sigma_{x\delta}}{\sigma_x^2+2\sigma_{x\delta}+\sigma_{\delta}^2}\Big]$

La preuve est la suivante: en simple régression linéaire, rappel

$$\hat \beta_1 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)y_i}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}$$ En cas d'erreur de mesure, nous avons $x_i^O=x_i^A=\delta_i$, $y_i^O=y_i^A+\epsilon_i$, et $y_i^A=\beta_0 +\beta_1 x_i^A$, donc nous obtenons $$y_i^O=\beta_0+\beta_1(x_i^O-\delta_i)+\epsilon_i=\beta_0+\beta_1x_i^O+(\epsilon_i-\beta_1 \delta_i)$$ En admettant que $E(\epsilon_i)=E(\delta_i)=0$, $var(\epsilon_i)=\sigma_{\epsilon}^2$, $var(\delta_i)=\sigma_{\delta}^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\delta_i-\bar \delta)^2$ et la variance de la valeur réelle du prédicteur $\sigma_{x}^2=\frac{\sum(x_i^A-\bar {x^A})^2}{n}$ et corrélation du vrai prédicteur et de l'erreur $\sigma_{x \delta}=cov(x^A,\delta)= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i^A-\bar {x_i^A})(\delta_i- \bar \delta)$, puis

$$cov(x_i^O,\delta)=E(x_i^O\delta)-E(x_i^O)\cdot E(\delta)=E(x_i^O\delta)=E[(x_i^A+\delta)\delta]=E(x_i^A \delta)+E(\delta^2)$$ $$=\big[E(x_i^A \delta)-E(x_i^A)\cdot E(\delta)\big]+\big[var(\delta)+[E(\delta)]^2\big]=cov(x_i^A,\delta)+\sigma_{\delta}^2=\sigma_{x\delta}+\sigma_{\delta}^2$$ Puis par $\bar x = E(x_i)$ et la propriété de bilinéarité en covariance, l'attente de $\hat \beta_1$ est $$E(\hat \beta_1)=E\Big[\frac{\sum_{i=1}^n(x_i^O-\bar x^O)y_i^O}{\sum_{i=1}^n(x_i^O-\bar x^O)^2}\Big]=\frac{E(\sum_{i=1}^nx^O_iy_i^O)-E(\sum_{i=1}^n \bar x^Oy_i^O)}{\sum_{i=1}^n E\big[(x_i^O-E(x_i^O))^2\big]}=\frac{E(\sum_{i=1}^nx_i^Oy_i^O)-E(x_i^O)\cdot E(\sum_{i=1}^n y_i^O)}{\sum_{i=1}^nvar(x_i^O)}$$ $$=\frac{\sum_{i=1}^ncov(y_i^O,x_i^O)}{\sum_{i=1}^nvar(x_i^O)}=\frac{\sum_{i=1}^ncov(\beta_0+\beta_1x_i^O+\epsilon_i-\beta_1\delta_i,~x_i^O)}{\sum_{i=1}^nvar(x_i^O)}=\frac{\beta_1\cdot \sum_{i=1}^nvar(x_i^O)-\beta_1\cdot \sum_{i=1}^ncov(x_i^O, \delta_i)}{\sum_{i=1}^nvar(x_i^O)}$$ $$=\beta_1 \cdot \Big[ 1-\frac{{\sum_{i=1}^ncov(x_i^O,\delta_i)}/{n}}{\sum_{i=1}^nvar(x_i^A+\delta_i)/n}\Big]=\beta_1 \cdot\Big[1-\frac{\sigma_{x\delta}+\sigma_{\delta}^2}{\sigma_x^2+2cov(x_i^A,\delta_i)+\sigma_{\delta}^2}\Big] =\beta_1 \cdot\Big[\frac{\sigma_x^2+\sigma_{x\delta}}{\sigma_x^2+2\sigma_{x\delta}+\sigma_{\delta}^2}\Big]$$ , as desired. Hence, the result $E(\hat \beta_1)=\beta_1 \cdot\Big[\frac{\sigma_x^2+\sigma_{x\delta}}{\sigma_x^2+2\sigma_{x\delta}+\sigma_{\delta}^2}\Big]$ is well-established.

I have a similar problem - posted here - and no certain answer still. What I did for the moment is simply gather a set of very similar Xs and check if there's a big variation for Y within those lines. Another kind of approach could be some a simulation: you use a single X from your dataset, but replicate the lines following the predictors systematic error (something like rnorm(...,0,0.3)). The confidence interval for slope may be something similar to the systematic error span.

I would recommend a parametric bootstrap on the data. That means generating new datasets that are similar to the real dataset, but are different to the extent implied by your uncertainty in each observation.

Here's some pseudo-code for that. Notice I'm using vector inputs to rnorm, as is normal in the R language. Also I'm assuming that what you are calling $\Delta$ are standard errors.

For each b in 1...B:
    x_PB = rnorm(x, x_se)
    y_PB = rnorm(y, y_se)
    r[b] = cor(x_PB, y_PB)

Then look at the distribution of the values in r.