Estimateur du maximum de vraisemblance pour la distribution binomiale négative

La question est la suivante:

Un échantillon aléatoire de n valeurs est collecté à partir d'une distribution binomiale négative avec le paramètre k = 3.

1. Trouvez l'estimateur du maximum de vraisemblance du paramètre π.
2. Trouvez une formule asymptotique pour l'erreur standard de cet estimateur.
3. Expliquez pourquoi la distribution binomiale négative sera approximativement normale si le paramètre k est suffisamment grand. Quels sont les paramètres de cette approximation normale?

Mon travail a été le suivant:
1. J'ai l'impression que c'est ce que l'on veut mais je ne sais pas si je suis précis ici ou si je peux éventuellement aller plus loin compte tenu des informations fournies?

2. Je pense que ce qui suit est demandé. Pour la dernière partie, je sens que je dois remplacer $\hat{\pi}$ par $\dfrac{k}{x}$

   $$\ell``(\hat{\pi}) = -\dfrac{k}{\hat{\pi}^2} + \dfrac{x}{(1-\hat{\pi})^2}\\ se(\hat{\pi}) = \sqrt{-\dfrac{1}{\ell``(\hat{\pi})}}\\ se(\hat{\pi}) = \sqrt{\dfrac{\hat{\pi}^2}{k} - \dfrac{(1-\hat{\pi})^2}{x}}\\$$

3. Je ne sais pas vraiment comment prouver celui-ci et je le recherche toujours. Tout conseil ou lien utile serait grandement apprécié. J'ai l'impression que cela est lié soit au fait qu'une distribution binomiale négative peut être considérée comme un ensemble de distributions géométriques ou à l'inverse d'une distribution binomiale, mais je ne sais pas comment l'aborder.

Toute aide serait grandement appréciée

1.

$p(x) = {x_i-1 \choose k-1}\pi^k(1-\pi)^{x_i-k}$

$L(\pi;x_i) = \prod_{i=1}^{n}{x_i-1 \choose k-1}\pi^k(1-\pi)^{x_i-k}\\$

$\ell(\pi;x_i) = \sum_{i=1}^{n}[log{x_i-1 \choose k-1}+klog(\pi)+(x_i-k)log(1-\pi)]\\ \frac{d\ell(\pi;x_i)}{d\pi} = \sum_{i=1}^{n}[\dfrac{k}{\pi}-\dfrac{(x_i-k)}{(1-\pi)}]$

Mettez cela à zéro,

$\frac{nk}{\pi}=\frac{\sum_{i=1}^nx_i-nk}{1-\pi}$

$\therefore$ $\hat\pi=\frac{nk}{\sum_{i=1}^nx}$

2.

Pour la deuxième partie, vous devez utiliser le théorème qui , est l'information sur le pêcheur ici. Par conséquent, l'écart type de sera . Ou vous l'appelez comme erreur standard puisque vous utilisez CLT ici.$\sqrt{n}(\hat\theta-\theta) \overset{D}{\rightarrow}N(0,\frac{1}{I(\theta)})$$I(\theta)$$\hat\theta$$[nI(\theta)]^{-1/2}$

Nous devons donc calculer les informations de Fisher pour la distribution binomiale négative.

$\frac{\partial^2 \log(P(x;\pi))}{\partial\pi^2}=-\frac{k}{\pi^2}-\frac{x-k}{(1-\pi)^2}$

$I(\theta)=-E(-\frac{k}{\pi^2}-\frac{x-k}{(1-\pi)^2})=\frac{k}{\pi^2}+\frac{k(1-\pi)}{(1-\pi)^2\pi}$

Remarque: pour le binôme négatif pmf$E(x) =\frac{k}{\pi}$

Par conséquent, l'erreur standard pour est$\hat \pi$$[n(\frac{k}{\pi^2}+\frac{k(1-\pi)}{(1-\pi)^2\pi})]^{-1/2}$

Simplifions nous obtenons nous obtenons$se(\pi)=\sqrt{\dfrac{\pi^2(\pi-1)}{kn}}$

3.

La distribution géométrique est un cas particulier de distribution binomiale négative lorsque k = 1. Remarque est une distribution géométrique$\pi(1-\pi)^{x-1}$

Par conséquent, une variable binomiale négative peut être écrite comme une somme de k variables aléatoires indépendantes (géométriques) distribuées de manière identique.

Donc, par CLT, la distribution binomiale négative sera approximativement normale si le paramètre k est suffisamment grand