Valeur attendue en fonction des quantiles?

Je me demandais où il y avait une formule générale pour relier la valeur attendue d'une variable aléatoire continue en fonction des quantiles du même rv La valeur attendue de rv est définie comme: et les quantiles sont définis comme suit: pour .E ( X ) = ∫ x d F X ( x ) Q p X = { x : F X ( x ) = p } = F - 1 X ( p ) p ∈ ( 0 , 1 $X$
$E(X) = \int x dF_X(x)$$Q^p_X = \{x : F_X(x) = p \} =F_X^{-1}(p)$$p\in(0,1)$

Existe-t-il par exemple une fonction fonction telle que: E ( X ) = ∫ p ∈ ( 0 , 1 ) G ( Q p X ) d $G$$E(X) = \int_{p\in(0,1)} G(Q^p_X) dp$

L'inverse (inverse droit dans le cas discret) de la fonction de distribution cumulative est appelée fonction quantile, souvent notée Q ( p ) = F - 1 ( p ) . L'espérance μ peut être donnée en fonction de la fonction quantile (lorsque l'espérance existe ...) comme μ = ∫ 1 0 Q ( p $F(x)$$Q(p)=F^{-1}(p)$$\mu$ Pour le cas continu, cela peut être démontré par une simple substitution dans l'intégrale: Ecriture μ = ∫ x f ( x

$$\mu=\int_0^1 Q(p)\; dp$$ puis p = F ( x ) via la différenciation implicite conduit à d p = f ( x $$\mu = \int x f(x) \; dx$$ $p=F(x)$ : μ = ∫$dp = f(x) \; dx$ Nous avons obtenu x = Q ( p ) de p = F ( x ) en appliquant Q des deux côtés. $$\mu = \int x \; dp = \int_0^1 Q(p) \; dp$$ $x=Q(p)$$p=F(x)$$Q$