Estimer la variance d'une population si la moyenne de la population est connue

Je sais que nous utilisons pour estimer la variance d'une population. Je me souviens d'une vidéo de Khan Academy où l'intuition donnée était que notre moyenne estimée est probablement un peu différente de la réelle, de sorte que les distances seraient en fait plus grandes, donc nous divisons par moins ( au lieu de ) pour obtenir une valeur plus élevée, résultant en une meilleure estimation. Et je me souviens avoir lu quelque part, que je n'ai pas besoin de cette correction si j'ai la moyenne réelle de la population au lieu de . donc Mais je ne le trouve plus. Est-ce vrai? Quelqu'un peut-il me donner un pointeur?$\frac1{n-1}\sum\limits_i(x_i - \bar{x})^2$$x_i - \bar{x}$$n-1$$n$
$\mu$$\bar{x}$$\frac1{n}\sum\limits_i(x_i - \mu)^2$

Oui c'est vrai. Dans le langage des statistiques, nous dirions que si vous ne connaissez pas la moyenne de la population, alors la quantité

$$\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left(x_i-\bar{x} \right)^2$$

est non biaisé, ce qui signifie simplement qu'il estime correctement la variance de la population en moyenne . Mais si vous connaissez la moyenne de la population, il n'est pas nécessaire d'utiliser une estimation pour cela - c'est à cela que sert le - et la correction d'échantillon fini qui l'accompagne.$\bar{x}$

En fait, on peut montrer que la quantité

$$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(x_i-\mu \right)^2$$

est non seulement non biaisé, mais présente également une variance inférieure à la quantité ci-dessus. C'est assez intuitif car une partie de l'incertitude a maintenant été levée. Nous utilisons donc celui-ci dans cette situation.

Il convient de noter que les estimateurs différeront très peu dans les grands échantillons et qu'ils sont donc asymptotiquement équivalents .