Pourquoi le CDF d'un échantillon est-il uniformément distribué

J'ai lu ici que, étant donné un échantillon d'une distribution continue avec cdf , l'échantillon correspondant à suit une distribution uniforme standard. $X_1,X_2,...,X_n$ $F_X$ $U_i = F_X(X_i)$

J'ai vérifié cela en utilisant des simulations qualitatives en Python, et j'ai facilement pu vérifier la relation.

import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats

xs = scipy.stats.norm.rvs(5, 2, 10000)

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(9, 3))
axes[0].hist(xs, bins=50)
axes[0].set_title("Samples")
axes[1].hist(
    scipy.stats.norm.cdf(xs, 5, 2),
    bins=50
)
axes[1].set_title("CDF(samples)")

Il en résulte le tracé suivant:

Diagramme montrant l'échantillon d'une distribution normale et le cdf de l'échantillon.

Je n'arrive pas à comprendre pourquoi cela se produit. Je suppose que cela a à voir avec la définition du CDF et sa relation avec le PDF, mais il me manque quelque chose ...

Je vous serais reconnaissant si quelqu'un pouvait m'indiquer une lecture sur le sujet ou m'aider à obtenir une certaine intuition sur le sujet.

EDIT: Le CDF ressemble à ceci:

CDF de la distribution échantillonnée

— Maxime Tremblay
source

Calculez le cdf de

F_{X} (X)

$F_X(X)$

— Zhanxiong

Vous trouverez une preuve de cette propriété (pour les VR continus) dans n'importe quel livre sur la simulation car c'est la base de la méthode de simulation cdf inverse.

— Xi'an

Essayez également la transformation intégrale de probabilité

— Zachary Blumenfeld

@ Xi'an Il est bon de souligner que la conclusion ne vaut que pour les variables aléatoires continues. Parfois, ce résultat est utilisé à tort pour des variables aléatoires discrètes. D'autre part, notons également que de nombreuses preuves impliquent l'étape

dans laquelle suppose la stricte monotonie de

, qui est également une hypothèse trop forte. Le lien suivant fournit un résumé rigoureux sur ce sujet: people.math.ethz.ch/~embrecht/ftp/generalized_inverse.pdf

P (F (X) \leq x) = P (X \leq F^{- 1} (x))

$P(F(X) \leq x) = P(X \leq F^{-1}(x))$

F

$F$

— Zhanxiong

@Zhanxiong la seule condition nécessaire pour

est qu'il soit càdlàg.

F

$F$

— AdamO

Supposons que soit continue et croissante. Définissez et notez que prend des valeurs dans . Alors $F_X$ $Z = F_X(X)$ $Z$ $[0, 1]$

F_{Z} (x) = P (F_{X} (X) \leq x) = P (X \leq F_{X}^{- 1} (x)) = F_{X} (F_{X}^{- 1} (x)) = x .

$F_Z(x) = P(F_X(X) \leq x) = P(X \leq F_X^{-1}(x)) = F_X(F_X^{-1}(x)) = x.$

$U$ $[0, 1]$

F_{U} (x) = \int_{R} f_{U} (u) d u = \int_{0}^{x} d u = x .

$F_U(x) = \int_R f_U(u)\,du =\int_0^x \,du =x.$

$F_Z(x) = F_U(x)$ $x\in[0, 1]$

— Hunaphu
source

S'ensuit-il que Z a une distribution uniforme (0, 1)?

— StatsSorceress

Z

$Z$

(0, 1) .

$(0,1).$

$F(x)$ $F(x)$ $F$ $x$ $F^{-1}$ $x = F^{-1}(p)$ $x$ $p$ $F \circ F^{-1} =_\lambda F^{-1} \circ F$

$F$ $a < b$ $P(F^{-1}(a) < x < F^{-1}(b)) = P(a < F(X) < b) = b-a$

— AdamO
source

Y = F (X)

$Y = F(X)$