Quand les approximations de la série Taylor aux attentes des fonctions (entières) convergent-elles?

Prenez une espérance de la forme pour une variable aléatoire univariée et une fonction entière (c.-à-d., L'intervalle de convergence est la ligne réelle entière) $E(f(X))$ $X$ $f(\cdot)$

J'ai une fonction de génération de moment pour et je peux donc facilement calculer des moments entiers. Utilisez une série de Taylor autour de puis appliquez l'attente en termes d'une série de moments centraux, Tronque cette série, $X$ $\mu \equiv E(x)$

E (f (x)) = E (f (μ) + f^{'} (μ) (x - μ) + f^{″} (μ) \frac{(x - μ)^{2}}{2!} + \dots)

$E(f(x)) = E\left(f(\mu) + f'(\mu)(x - \mu) + f''(\mu)\frac{(x - \mu)^2}{2!} +\ldots\right)$

= f (μ) + \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{f^{(n)} (μ)}{n!} E [(x - μ)^{n}]

$=f(\mu) + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{f^{(n)}(\mu)}{n!}E\left[(x - \mu)^n\right]$

E_{N} (f (x)) = f (μ) + \sum_{n = 2}^{N} \frac{f^{(n)} (μ)}{n!} E [(x - μ)^{n}]

$E_N(f(x)) = f(\mu) + \sum_{n=2}^{N} \frac{f^{(n)}(\mu)}{n!}E\left[(x - \mu)^n\right]$

Ma question est la suivante: dans quelles conditions sur la variable aléatoire (et tout élément supplémentaire sur $f(\cdot)$ également) l'approximation de l'attente converge-t-elle lorsque j'ajoute des termes (c'est-à-dire $\lim\limits_{N\to\infty}E_N(f(x)) = E(f(x))$ ).

Puisqu'il ne semble pas converger pour mon cas (une variable aléatoire de poisson et $f(x) = x^{\alpha}$ ), existe-t-il d'autres astuces pour trouver des attentes approximatives avec des moments entiers lorsque ces conditions échouent?

expected-value approximation

— jlperla
source

voir ici: stats.stackexchange.com/questions/70490/…

— Jonathan

@Jonathan Merci. Voir mes modifications maintenant que c'est devenu plus clair. Très utile, même si je ne pouvais pas vraiment le casser. De cela, il apparaît qu'une condition suffisante pour que cela fonctionne est que ma variable aléatoire soit fortement concentrée? Bien que j'aie du mal à comprendre exactement comment utiliser l'inégalité de Hoeffding, etc. pour comparer à ces notes.

— jlperla

Que voulez-vous dire "une variable aléatoire de poisson et "? Est-ce un cas ou deux, et quel est le pdf?

f (x) = x^{α}

$f(x)=x^α$

— Carl

@Carl Il y a quelques années, mais si je me souviens bien, la variable était pour certains avec PDF de en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution . Que était la fonction sur laquelle je répondais aux attentes. ie

x \sim P o i s s o n (λ)

$x \sim Poisson(\lambda)$

λ

$\lambda$

f (x)

$f(x)$

E (f (x))

$E(f(x))$

— jlperla

Je ne sais pas ce que vous demandez. Que diriez-vous que les moments supérieurs de la distribution de Poisson autour de l'origine sont des polynômes de Touchard dans : où les {accolades} désignent des nombres de Stirling du second type?

m_{k}

$m_k$

λ

$\lambda$

m_{k} = \sum_{i = 0}^{k} λ^{i} {\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}},

$m_k = \sum_{i=0}^k \lambda^i \left\{\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}\right\},$

— Carl

Réponses:

Par votre hypothèse que est analytique réel, Converge presque sûrement (en fait sûrement) vers . $f$

y_{n} = f (μ) + f^{'} (μ) (x - μ) + f^{″} (μ) \frac{(x - μ)^{2}}{2!} + \dots + f^{(n)} (μ) \frac{(x - μ)^{n}}{n!}

$y_n = f(\mu) + f'(\mu)(x - \mu) + f''(\mu)\frac{(x - \mu)^2}{2!} + \ldots + f^{(n)}(\mu)\frac{(x - \mu)^n}{n!}$

f (x)

$f(x)$

Une condition standard dans laquelle, comme la convergence implique la convergence des attentes, c'est-à-dire est que comme pour certains tels que . (Théorème de convergence dominé.)

E [f (x)] = E [lim_{n \to \infty} y_{n}] = lim_{n \to \infty} E [y_{n}],

$E[f(x)] = E [ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n] = \lim_{n \rightarrow \infty} E [y_n],$

| y_{n} | \leq y

$|y_n| \leq y$

y

$y$

E [y] < \infty

$E[y] < \infty$

Cette condition serait remplie si la série de puissances converge absolument comme, c'est-à-dire et

y = \sum_{n \geq 0} | f^{(n)} (μ) | \frac{| x - μ |^{n}}{n!} < \infty a . s .

$y = \sum_{n \geq 0} |f^{(n)}(\mu)| \, \frac{|x - \mu|^n}{n!} < \infty \;\; a.s.$

E [y] < \infty .

$E[y] < \infty.$

Votre exemple d'une variable aléatoire de Poisson et , , suggérerait que l'intégrabilité ci-dessus du critère de limite absolue est la plus faible possible, en général. $f(x)=x^{\alpha}$ $\alpha \notin\mathbb{Z}_+$

— Michael
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-1

L'approximation convergera si la fonction f (x) admet une expansion en série de puissance, c'est-à-dire que toutes les dérivées existent. Il sera également pleinement atteint si les dérivés d'un seuil spécifique et supérieur sont égaux à zéro. Vous pouvez vous référer à Populis [3-4] et à Stark et Woods [4].

— E. Mehrban
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"Il sera également pleinement atteint si les dérivés d'un seuil spécifique et supérieur sont égaux à zéro." Si les dérivées existent et sont égales à zéro, n'est-ce pas une autre façon de dire polynôme?

— Accumulation

Ce n'est pas vrai. Lorsque "tous les dérivés existent" au moment de l'expansion de la série de puissance, la série de puissance n'a pas besoin de converger n'importe où. (L'exemple standard est la série Maclaurin de ) Un autre est que même lorsque la série converge à un moment donné, elle n'a pas besoin de converger partout. Un exemple simple est la série Maclaurin deLorsque cela se produit, la convergence dépend des détails de la variable aléatoire. Par exemple, supposons que ait une distribution de Student t et considéronsFinalement, n'existe même pas!

e^{- 1 / x^{2}} .

$e^{-1/x^2}.$

1 / (1 - x) .

$1/(1-x).$

X

$X$

1 / (1 - X) = 1 + X + X^{2} + \dots + X^{n} + \dots .

$1/(1-X)=1+X+X^2+\cdots+X^n+\cdots.$

E (X^{n})

$E(X^n)$

— whuber