Comment fonctionne la régression quantile?

J'espère obtenir une explication intuitive et accessible de la régression quantile.

Disons que j'ai un simple ensemble de données du résultat $Y$ et des prédicteurs $X_1, X_2$ .

Si, par exemple, je lance une régression quantile à .25, .5, .75, et récupère . $\beta_{0,.25},\beta_{1,.25}...\beta_{2,.75}$

Les valeurs trouvées simplement en ordonnant les valeurs et en effectuant une régression linéaire basée sur les exemples qui sont au / près du quantile donné? $\beta$ $y$

Ou tous les échantillons contribuent-ils aux estimations , avec des poids décroissants à mesure que la distance par rapport au quantile augmente? $\beta$

Ou est-ce quelque chose de totalement différent? Je n'ai pas encore trouvé d'explication accessible.

quantile-regression

— Jeremy
source

En ce qui concerne les mathématiques, vous pourriez trouver ces deux réponses utiles: stats.stackexchange.com/questions/102906/… , stats.stackexchange.com/questions/88387/…

— Andy

Réponses:

Je recommande Koenker & Hallock (2001, Journal of Economic Perspectives) et le manuel éponyme de Koenker .

Le point de départ est l'observation que la médiane d'un ensemble de données minimise la somme des erreurs absolues . Autrement dit, le quantile à 50% est une solution à un problème d'optimisation particulier (pour trouver la valeur qui minimise la somme des erreurs absolues).
À partir de cela, il est facile de trouver que tout -quantile est la solution à un problème de minimisation spécifique, à savoir minimiser une somme d' erreurs absolues pondérées asymétriquement , avec des poids qui dépendent de . $\tau$ $\tau$
Enfin, pour passer à la régression, nous modélisons la solution à ce problème de minimisation sous la forme d'une combinaison linéaire de variables prédictives.Le problème consiste donc maintenant à trouver non pas une valeur unique, mais un ensemble de paramètres de régression.

Votre intuition est donc tout à fait correcte: tous les échantillons contribuent aux estimations , avec des poids asymétriques en fonction du quantile nous visons. $\beta$ $\tau$

— S. Kolassa - Réintégrer Monica
source

En ce qui concerne votre point 1), cela ne serait-il pas vrai uniquement en supposant que Y est distribué symétriquement? Si Y est asymétrique comme {1, 1, 2, 4, 10}, la médiane 2 ne minimiserait certainement pas l'erreur absolue. La régression quantile suppose-t-elle toujours que Y est symétriquement distribué? Merci!

— Ben

@Ben: non, la symétrie n'est pas requise. Le point clé est que la médiane minimise l' erreur absolue attendue . Si vous avez une distribution discrète avec des valeurs 1, 2, 4, 10 et des probabilités 0,4, 0,2, 0,2, 0,2, alors un résumé ponctuel de 2 minimise en effet l' erreur absolue attendue . Une simulation n'est que quelques lignes de code R:

foo <- sample(x=c(1,2,4,10),size=1e6,prob=c(.4,.2,.2,.2),replace=TRUE); xx <- seq(1,10,by=.1); plot(xx,sapply(xx,FUN=function(yy)mean(abs(yy-foo))),type="l")

— S. Kolassa - Reinstate Monica

(Et oui, j'aurais dû être plus clair dans ma réponse, au lieu de discuter des "sommes".)

— S. Kolassa - Réinstallez Monica le

Derp. À quoi je pensais. Cela a du sens maintenant, merci.

— Ben

L'idée de base de la régression quantile vient du fait que l'analyste s'intéresse à la distribution des données plutôt qu'à la simple moyenne des données. Commençons par la moyenne.

La régression moyenne ajuste une ligne de la forme de à la moyenne des données. En d'autres termes, $y=X\beta$ . Une approche générale pour estimer cette ligne utilise la méthode des moindres carrés, . $E(Y|X=x)=x\beta$ $\arg\min_\beta (y-x\beta)'(y-X\beta)$

$\arg\min_\beta |y-X\beta|$ $|.|$

$\alpha$

Ici, vous avez fait une petite erreur, la régression Q n'est pas comme trouver un quantile de données puis ajuster une ligne à ce sous-ensemble (ou même les frontières qui sont plus difficiles).

$\alpha$

{\hat{β}}_{α} = \arg min_{β} {α | y - X β | I (y > X β) + (1 - α) | y - X β | I (y < X β)} .

$\hat\beta_\alpha=\arg\min_\beta \bigg\{\alpha |y-X\beta| I(y>X\beta) + (1-\alpha) |y-X\beta|I(y<X\beta)\bigg\}.$

Comme vous le voyez, cette fonction cible intelligente n'est rien d'autre que la traduction d'un quantile en un problème d'optimisation.

$\beta_\alpha$

— TPArrow
source

Cette réponse est brillante.

— Jinhua Wang