Prior de Jeffreys pour une distribution normale avec une moyenne et une variance inconnues

Je lis sur les distributions antérieures et j'ai calculé Jeffreys a priori pour un échantillon de variables aléatoires normalement distribuées avec une moyenne et une variance inconnues. Selon mes calculs, ce qui suit vaut pour Jeffreys a priori:

p (μ, σ^{2}) = \sqrt{ré e t (je)} = \sqrt{ré e t (\begin{matrix} 1 / σ^{2} & 0 \\ 0 & 1 / (2 σ^{4}) \end{matrix})} = \sqrt{\frac{1}{2 σ^{6}}} \propto \frac{1}{σ^{3}} .

$p(\mu,\sigma^2)=\sqrt{det(I)}=\sqrt{det\begin{pmatrix}1/\sigma^2 & 0 \\ 0 & 1/(2\sigma^4)\end{pmatrix}}=\sqrt{\frac{1}{2\sigma^6}}\propto\frac{1}{\sigma^3}.$ Ici,

I

$I$ la matrice d'information de Fisher.

Cependant, j’ai également lu des publications et des documents

$p(\mu,\sigma^2)\propto 1/\sigma^2$ voir la section 2.2 dansKass et Wassermann (1996).
voir page 25 dansYang et Berger (1998) $p(\mu,\sigma^2)\propto 1/\sigma^4$

comme Jeffreys avant pour le cas d'une distribution normale avec une moyenne et une variance inconnues. Quel est le «réel» Jeffreys avant?

— Nussig
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Réponses:

Je pense que l'écart s'explique par le fait que les auteurs considèrent la densité sur ou la densité sur . À l'appui de cette interprétation, la chose exacte que Kass et Wassermann écrivent est tandis que Yang et Berger écrivent $\sigma$ $\sigma^2$

π (μ, σ) = 1 / σ^{2},

$\pi(\mu, \sigma) = 1 / \sigma^2,$

π (μ, σ^{2}) = 1 / σ^{4} .

$\pi(\mu, \sigma^2) = 1 / \sigma^4.$

— A. Donda
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Merci, j'ai oublié cela. Cependant, cela n'explique toujours pas l'écart entre

1 / σ^{3}

$1/\sigma^3$

1 / σ^{4}

$1/\sigma^4$

— Nussig

En fait, avoir un a priori de

est identique à avoir un a priori

, en raison de la propriété de reparamétrisation de Jeffreys a priori:

π (μ, σ) = 1 / σ^{2}

$\pi(\mu, \sigma)=1/\sigma^2$

π (μ, σ^{2}) = 1 / σ^{3}

$\pi(\mu, \sigma^2)=1/\sigma^3$

avec

la matrice jacobienne de

, soit

π (μ, σ) = π (μ, σ^{2}) ré e t (J_{F}) \propto \frac{1}{σ^{3}} 2 σ \propto \frac{1}{σ^{2}}

$\pi(\mu, \sigma)=\pi(\mu, \sigma^2)det(J_f)\propto \frac{1}{\sigma^3}2\sigma \propto \frac{1}{\sigma^2}$

J_{f}

$J_f$

f : (μ, σ) \to (μ, σ^{2})

$f: (\mu, \sigma)\to (\mu, \sigma^2)$

J_{F} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 σ \end{matrix})

$J_f=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\sigma\end{pmatrix}$

— Nussig

1 / σ^{3}

$1/\sigma^3$

1 / σ

$1/\sigma$

π (μ, σ) = 1 / σ

$\pi(\mu, \sigma) = 1 / \sigma$

π (μ, σ^{2}) = 1 / σ^{2}

$\pi(\mu, \sigma^2) = 1 / \sigma^2$

π (μ, σ^{2}) = 1 / σ^{4}

$\pi(\mu, \sigma^2) = 1 / \sigma^4$

Jim Berger est toujours un scientifique actif, alors pour être sûr de pouvoir vérifier directement avec lui: stat.duke.edu/~berger

— A. Donda

$\mu$ $\sigma^2$ $[\mu] \sim m$ $[\sigma^2] \sim m^2$ $\sigma$

π (μ, σ) \sim 1 / σ^{2}

$\pi(\mu, \sigma) \sim 1/\sigma^{2}$

π (μ, σ^{2}) \sim 1 / σ^{3}

$\pi(\mu, \sigma^2) \sim 1/\sigma^{3}$

— Dr_Zaszuś
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σ^{3}

$\sigma^{3}$

$\frac{1}{\sigma^3}$ $\frac{1}{\sigma^2}$ $\log(\sigma)$

— Jorne Biccler
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\log (σ)

$\log(\sigma)$

χ^{2}

$\chi^2$

(μ, σ^{2}) | ré \sim N χ^{- 1} (\bar{X}, n, n, \frac{1}{n} \sum (X_{je} - \bar{X})^{2}) .

$(\mu,\sigma^2)|D \sim \mathcal{N}\chi^{-1}\left(\overline{X}, n,n, \frac{1}{n}\sum(X_i-\overline{X})^2\right).$

1 / σ^{2}

$1/\sigma^2$

χ^{2}

$\chi^2$

χ^{2} (\bar{X}, n, n - 1, s^{2})

$\chi^2(\bar{X},n,n-1,s^2)$

σ^{2}

$\sigma^2$

χ^{2}

$\chi^2$