La distribution binomiale présente-t-elle la plus petite variance possible parmi toutes les distributions «raisonnables» pouvant modéliser des élections binaires?

Imaginez une élection où $n$ les gens font un choix binaire: ils votent pour A ou contre. Le résultat est que $m$ les gens votent pour A, et donc le résultat de A est $p=m/n$ .

Si je veux modéliser ces élections, je peux supposer que chaque personne vote pour A indépendamment avec probabilité $p$ , conduisant à la répartition binomiale des votes:

votes for A \sim B i n o m (n, p) .

$\text{votes for A}\sim\mathsf{Binom}(n,p).$ Cette distribution signifie

m = n p

$m=np$ et variance

n p (1 - p)

$np(1-p)$ .

Je peux également faire d'autres hypothèses. Par exemple, je peux supposer que la probabilité $p$ est lui-même une variable aléatoire provenant d'une certaine distribution (par exemple bêta); cela peut conduire à une distribution bêta-binomiale des votes pour A. Ou je peux supposer que les gens votent en groupes de $k$ , où chaque groupe de $k$ les gens font le même choix et c'est A avec probabilité $p$ . Cela conduira à une distribution binomiale avec une plus grande variance. Dans tous ces cas, la variance de la distribution résultante est plus grande que dans le schéma binomial le plus simple.

Puis-je affirmer que la distribution binomiale a la plus petite variance possible? En d'autres termes, cette affirmation peut-elle être précisée d'une manière ou d'une autre, par exemple en spécifiant des conditions raisonnables sur les distributions possibles? Quelles seraient ces conditions?

Ou existe-t-il peut-être une distribution raisonnable présentant une variance plus faible?

Je peux imaginer une variance plus faible, par exemple quand tout $n$ les gens s'entendent à l'avance sur la façon dont ils voteront, et ainsi $\text{votes for A}$ n'est pas vraiment une variable aléatoire, mais un nombre fixe $m$ . La variance est alors nulle. Ou peut-être que presque tous étaient d'accord, mais quelques personnes ne l'ont pas fait, et alors on peut avoir une petite variance autour $m$ . Mais cela ressemble à de la triche. Peut-on avoir une variance plus petite que binomiale sans aucun arrangement préalable, c'est-à-dire lorsque chaque personne vote au hasard dans un certain sens?

— amibe
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Une question connexe: ces données sont-elles sous-dispersées? Si oui, quels mécanismes peuvent expliquer cela?

— amoeba

La distribution binomiale du poisson présente une variance maximale lorsque tous p_i sont identiques (c'est-à-dire lorsqu'ils sont réduits au binôme) pour la moyenne fixe et n. en.m.wikipedia.org/wiki/Poisson_binomial_distribution

— seanv507

@ seanv507 Merci, oui. Je l'ai réalisé moi-même en 2015, voir mon commentaire sous la réponse de whuber. Mais si vous souhaitez publier ceci comme une réponse (en expliquant ce qu'est le binôme de Poisson), je serai heureux de voter.

— amibe

Non .

Supposons que les électeurs se composent de $n=2k$ couples mariés. Les maris se réunissent et décident de voter contre leurs épouses, qui choisissent elles-mêmes au hasard. Le résultat est toujours $k$ votes pour chacun des candidats, avec un écart nul.

Vous pourriez vous plaindre parce que les maris ne votent pas au hasard. Eh bien, ils le sont - ils se trouvent être étroitement liés aux votes aléatoires de leurs épouses. Si cela vous dérange, changez un peu les choses en demandant à chaque mari de lancer dix pièces justes. Si tous les dix sont des chefs, il votera avec sa femme; sinon il vote contre elle. Vous pouvez vérifier que le résultat des élections présente encore une petite variance (quoique non nulle), même si chaque vote est imprévisible.

Le nœud du problème réside dans la covariance négative entre deux blocs de vote, les hommes et les femmes.

— whuber
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Merci, @whuber. Il semble qu'il existe également un autre moyen de réduire l'écart: les électeurs devraient voter pour A avec différentes probabilités

p_{i}

$p_i$ qui sont répartis autour

p

$p$ . La distribution composée est apparemment connue sous le nom de binôme de Poisson, et si sa moyenne

\sum p_{i}

$\sum p_i$ est fixé à

n p

$np$ , alors la variance sera la plus grande pour le cas binomial lorsque tous

p_{i} = p

$p_i=p$ . Si les probabilités ne sont pas égales, la variance sera nécessairement plus petite.

— amoeba

Bien sûr: il existe de nombreuses façons de réaliser une sous-dispersion (comme je vois que vous vous rendez compte tardivement!). Je pensais juste que cet exemple mari-femme était suffisamment clair, amusant et mémorable pour mériter d'être écrit. Parce que cela équivalait à une réponse, il n'aurait pas été approprié de l'enterrer dans un commentaire (c'est ainsi que tout a commencé).

— whuber