Distribution d'un rapport d'uniformes: qu'est-ce qui ne va pas?

Supposer que $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires uniformes iid sur l'intervalle $[0,1]$

Laisser $Z=X/Y$ , Je trouve le cdf de $Z$ , c'est à dire $\Pr(Z\leq z)$ .

Maintenant, j'ai trouvé deux façons de procéder. L'un produit une réponse correcte conforme au pdf ici: http://mathworld.wolfram.com/UniformRatioDistribution.html , l'autre non. Pourquoi la deuxième méthode est-elle mauvaise?

Première méthode

$\newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \Pr(Z\leq z) = \Pr(X/Y\leq z) = \Pr(X\leq zY) = \int^{1}_{0}\int^{\min(1,zy)}_{0} \rd x \rd y = \int^{1}_{0}\min(1,zy)\ \rd y$ $= \left\{ \begin{array}{lr} \int^{1/z}_{0}zy\ \rd y + \int^{1}_{1/z} \rd y& : z > 1\\ \int^{1}_{0}zy\ \rd y & : z \leq 1 \end{array} \right.$ $= \left\{ \begin{array}{lr} 1 - \frac{1}{2z} & : z > 1\\ \frac{z}{2} & : z \leq 1 \end{array} \right.$

Cela semble correct.

Deuxième méthode

$\Pr(X/Y\leq z) = \Pr(X \leq zY\ |\ zY \geq 1)\Pr(zY \geq 1) + \Pr(X \leq zY\ |\ zY < 1)\Pr(zY < 1)$ par probabilité totale

$= \Pr(X \leq zY\ |\ zY \geq 1)\Pr(Y \geq 1/z) + \Pr(X \leq zY\ |\ zY < 1)\Pr(Y < 1/z)$

Prendre donne $z>1$ $(1)(1-\frac{1}{z}) + (\int^{1/z}_{0}\int^{zy}_{0} \rd x \rd y)(\frac{1}{z}) = 1-\frac{1}{z} + (\int^{1/z}_{0}zy\ \rd y)(\frac{1}{z}) = 1-\frac{1}{z} + \frac{1}{2z^{2}}$

C'est déjà différent. Pourquoi est-ce mal?

Merci!

— Junier
source

Voici un indice .

Examinez attentivement le terme . En particulier, pour le concret, choisissez , de sorte que nous considérons l'événement . $\mathbb P( X \leq z Y \mid z Y < 1 )$ $z = 2$ $\mathbb P( X \leq 2 Y \mid Y < 1/2 )$

Maintenant, regardez cette image (qui est très étroitement liée à la probabilité ci-dessus).

Diagramme de probabilité conditionnelle pour le rapport des uniformes

Maintenant, cette probabilité conditionnelle dépend-elle de notre choix particulier de ? $z$

— cardinal
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Je suppose que la description la plus formelle de l'image est: Soit nous pouvons voir que le pdf de est donc Mais je ne comprends toujours pas pourquoi configurer l'intégrale comme je l'ai fait auparavant ne fonctionne pas. Même si la valeur de z ne joue aucun rôle réel, pourquoi la définition de la limite intégrale de x à zy, puis la définition de la limite intégrale de y à 1 / z ne rectifient-elles pas cela?

R = z Y

$R = zY$

R

$R$

1 / z

$1/z$

Pr (X \leq R \land R < 1) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{r} 1 / z d x d r = \frac{1}{2 z}

$\Pr(X \leq R \wedge R < 1) = \int^{1}_{0}\int^{r}_{0} 1/z\ dx\ dr = \frac{1}{2z}$

— Junier

Ah, ok je pense que je l'ai peut-être compris. Nous allons donc avoir cette région contractée {(x, y): y <1 / z} sur le carré de l'unité, puis nous allons développer cette même région de z donc {(x, y): y <z / z}. C'est-à-dire tout le carré de l'unité à nouveau. La région où x <y est 1/2. Mais comment formaliser mathématiquement cette intuition; c'est-à-dire à la suite de ce contrat, étendre officiellement l'itinéraire? Et quels sont les conseils pour éviter ce type d'erreurs?

— Junier

@Junier Dessiner une image aide souvent :-).

— whuber

+1 @whuber. En cas de doute, dessinez une image. Cela semble invariablement clarifier les problèmes que j'ai.

— Fomite

Cela dépend de la façon formelle dont vous souhaitez formaliser cela mathématiquement. Notez d'abord que est la probabilité conjointe , pas la probabilité conditionnelle que vous essayez de calculer. C'est une erreur assez courante. Notez que diviser ce que vous avez par récupère la bonne réponse. (Ce n'est que la règle de Bayes.)

\int_{0}^{1 / z} \int_{0}^{z y} d x d y

$\int_0^{1/z} \int_{0}^{zy} \mathrm{d}x \mathrm{d}y$

P (0 \leq X \leq z Y, 0 \leq Y \leq 1 / z)

$\mathbb P(0 \leq X \leq zY, 0 \leq Y \leq 1/z)$

P (0 \leq Y \leq 1 / z) = 1 / z

$\mathbb P(0 \leq Y \leq 1/z) = 1/z$

— Cardinal