Dérivation de la fonction de vraisemblance pour IV-probit

J'ai donc un modèle binaire où est la variable latente non observée et l'observé. détermine et est donc mon instrument. Bref, le modèle est. Puisque les termes d'erreur ne sont pas indépendants mais, J'utilise un modèle IV-probit. $y_1^*$ $y_1 \in \{0,1\}$ $y_2$ $y_1$ $z_2$

\begin{array}{rcl} y_{1}^{*} & = & δ_{1} z_{1} + α_{1} y_{2} + u_{1} \\ y_{2} & = & δ_{21} z_{1} + δ_{22} z_{2} + v_{2} = z δ + v_{2} \\ y_{1} & = & 1 [y^{*} > 0] \end{array}

$\begin{eqnarray} y_1^*&=& \delta_1 z_1 + \alpha_1 y_2 + u_1 \\ y_2 &=& \delta_{21} z_1 + \delta_{22}z_2 + v_2 = \textbf{z}\delta + v_2 \\ y_1 &=& \text{1}[y^*>0] \end{eqnarray}$

\begin{array}{rcl} (\begin{matrix} u_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) \sim N (0, [\begin{matrix} 1 & η \\ η & τ^{2} \end{matrix}]) . \end{array}

$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} u_1 \\ v_2 \end{pmatrix} \sim \mathcal{N} \left(\textbf{0} \; , \begin{bmatrix} 1 &\eta \\ \eta &\tau^2 \end{bmatrix} \right). \nonumber \end{eqnarray}$

J'ai du mal à dériver la fonction de vraisemblance. J'obtiens que je peux écrire l'un des termes d'erreur comme une fonction linéaire de l'autre donc, et que devrait être utilisé afin d'imposer un CDF normal.

\begin{array}{rcl} u_{1} = \frac{η}{τ^{2}} v_{2} + ξ, where ξ \sim N (0, 1 - η^{2}) . \end{array}

$\begin{eqnarray} u_{1} = \frac{\eta}{\tau^2}v_{2} + \xi, \qquad \text{where} \quad \xi \sim \mathcal{N}(0, 1-\eta^2). \end{eqnarray}$

ξ

$\xi$

J'ai cherché dans le manuel Stata ( http://www.stata.com/manuals13/rivprobit.pdf ) pour IV-probit et ils suggèrent d'utiliser la définition de la densité conditionnelle afin de dériver la fonction de vraisemblance mais je ne le fais vraiment pas l'utiliser (et oui je me retrouve avec le mauvais résultat ...). Ma tentative jusqu'à présent est,

\begin{array}{rcl} f (y_{1}, y_{2} ∣ z) = f (y_{1} ∣ y_{2}, z) f (y_{2} ∣ z) \end{array}

$\begin{eqnarray} f(y_1, y_2 \mid \textbf{z}) = f(y_1 \mid y_2, \textbf{z}) f(y_2 \mid \textbf{z}) \end{eqnarray}$

\begin{array}{rcl} L (y_{1}) & = & \prod_{i = 1}^{n} Pr (y_{1} = 0 ∣ y_{2}, z)^{1 - y_{1}} Pr (y_{1} = 1 ∣ y_{2}, z)^{y_{1}} \\ = & \prod_{i = 1}^{n} Pr (y_{1}^{*} \leq 0)^{1 - y_{1}} (Pr (y_{1}^{*} > 0) f (y_{2} ∣ z))^{y_{1}} \\ [standardizing] & = & \prod_{i = 1}^{n} Pr (\frac{ξ}{\sqrt{1 - η^{2}}} \leq - \frac{δ_{1} z_{1} + α_{1} y_{2} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2} - z)}{\sqrt{1 - η^{2}}})^{1 - y_{1}} \\ \cdot & (Pr (\frac{ξ}{\sqrt{1 - η^{2}}} < \frac{δ_{1} z_{1} + α_{1} y_{2} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2} - z)}{\sqrt{1 - η^{2}}}) f (y_{2} ∣ z))^{y_{1}} \\ = & [1 - Φ (w)]^{1 - y_{i}} {[Φ (w) f (y_{2} ∣ x)]}^{y_{1}} \end{array}

$\begin{eqnarray} \mathcal{L}(y_1) &=& \prod_{i=1}^n \Pr(y_1=0 \mid y_2, \textbf{z} )^{1-y_1} \Pr(y_1=1 \mid y_2, \textbf{z} )^{y_1} \nonumber \\ &=& \prod_{i=1}^n \Pr(y_1^* \leq 0)^{1-y_1} \Big(\Pr(y_1^* > 0) f(y_2 \mid \textbf{z}) \Big)^{y_1} \nonumber \\ \text{[standardizing]} &=& \prod_{i=1}^n \Pr \Big( \frac{\xi}{\sqrt{1-\eta^2}} \leq - \frac{\delta_1 z_1 + \alpha_1 y_2 + \frac{\eta}{\tau^2}(y_2 - \textbf{z})}{\sqrt{1-\eta^2}}\Big)^{1-y_1} \\ &\cdot& \Big(\Pr \Big( \frac{\xi}{\sqrt{1-\eta^2}} < \frac{\delta_1 z_1 + \alpha_1 y_2 + \frac{\eta}{\tau^2}(y_2 - \textbf{z})}{\sqrt{1-\eta^2}}\Big) f(y_2 \mid \textbf{z}) \Big)^{y_1} \nonumber \\ &=& [1-\Phi(w)]^{1-y_i} \left[ \Phi(w)f(y_2 \mid \textbf{x}) \right]^{y_1} \end{eqnarray}$ Comme je l'ai dit, je n'ai pas utilisé la définition de la fonction de densité conjointe comme indiqué ci-dessus. De plus, je me retrouve avec aussi

f (y_{2} ∣ z)

$f(y_2 \mid \textbf{z})$ élevé à

y_{1}

$y_1$ ce qui semble être faux. Quelqu'un peut-il me donner un indice sur la façon de dériver la fonction de vraisemblance (log) correcte ou sur où je me suis trompé?

maximum-likelihood econometrics probit

— Cederlöf
source

N'oubliez pas que pour une variable normale bivariée la distribution conditionnelle de étant donné est

(\begin{matrix} X \\ Y \end{matrix}) \sim N ([\begin{matrix} μ_{X} \\ μ_{Y} \end{matrix}], [\begin{matrix} σ_{X}^{2} & ρ σ_{X} σ_{Y} \\ ρ σ_{X} σ_{Y} & σ_{Y}^{2} \end{matrix}]),

$\begin{pmatrix}X \\ Y\end{pmatrix}\sim\mathcal{N}\left(\begin{bmatrix}\mu_X\\\mu_Y\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}\sigma_X^2 & \rho\sigma_X\sigma_Y\\\rho\sigma_X\sigma_Y & \sigma_Y^2\end{bmatrix}\right),$

Y

$Y$

X

$X$

Y ∣ X \sim N (μ_{Y} + ρ σ_{Y} \frac{X - μ_{X}}{σ_{X}}, σ_{Y} [1 - ρ^{2}]) .

$Y\mid X \sim \mathcal{N}\left(\mu_Y+\rho\sigma_Y\frac{X-\mu_X}{\sigma_X},\sigma_Y\left[1-\rho^2\right]\right).$

Dans le cas présent, nous avons ce qui signifie que où (et ce fut votre première erreur)

\begin{aligned} u_{1} ∣ v_{2} & \sim N (0 + \frac{η}{1 \cdot τ} \cdot 1 \frac{v_{2} - 0}{τ}, 1 \cdot [1 - {(\frac{η}{1 \cdot τ})}^{2}]) \\ = N (\frac{η}{τ^{2}} v_{2}, 1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}), \end{aligned}

$\begin{align} u_1 \mid v_2 &\sim \mathcal{N}\left(0+\frac{\eta}{1\cdot\tau}\cdot1\frac{v_2-0}{\tau}, 1\cdot\left[1-\left(\frac{\eta}{1\cdot\tau}\right)^2\right] \right) \\ &= \mathcal{N}\left(\frac{\eta}{\tau^2}v_2, 1-\frac{\eta^2}{\tau^2} \right), \end{align}$

u_{1} = \frac{η}{τ^{2}} v_{2} + ξ

$u_1=\frac{\eta}{\tau^2}v_2+\xi$

ξ \sim N (0, 1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}) .

$\xi\sim\mathcal{N}\left(0,1-\frac{\eta^2}{\tau^2}\right).$

On peut ainsi réécrire la première équation

\begin{aligned} y_{1}^{*} & = δ_{1} z_{1} + α_{1} y_{2} + u_{1} \\ = δ_{1} z_{1} + α_{1} y_{2} + \frac{η}{τ^{2}} v_{2} + ξ \\ = δ_{1} z_{1} + α_{1} y_{2} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2} - z δ) + ξ . \end{aligned}

$\begin{align} y_1^* &= \delta_1 z_1 + \alpha_1 y_2 + u_1 \\ &= \delta_1 z_1 + \alpha_1 y_2 + \frac{\eta}{\tau^2}v_2+\xi \\ &= \delta_1 z_1 + \alpha_1 y_2 + \frac{\eta}{\tau^2}(y_2-\textbf{z}\delta)+\xi. \end{align}$

Maintenant, rappelez-vous que la fonction de densité de probabilité conditionnelle de donnée est $X=x$ $Y=y$

f_{X} (x ∣ y) = \frac{f_{X Y} (x, y)}{f_{Y} (y)} .

$f_{X}(x \mid y)=\frac{f_{XY}(x,y)}{f_{Y}(y)}.$

Dans le cas présent, nous avons qui peut être réorganisé en votre expression

f_{1} (y_{1} ∣ y_{2}, z) = \frac{f_{12} (y_{1}, y_{2} ∣ z)}{f_{2} (y_{2} ∣ z)},

$f_{1}(y_1 \mid y_2, \mathbf{z})=\frac{f_{12}(y_1,y_2 \mid \mathbf{z})}{f_{2}(y_2 \mid \mathbf{z})},$

f_{12} (y_{1}, y_{2} ∣ z) = f_{1} (y_{1} ∣ y_{2}, z) f_{2} (y_{2} ∣ z) .

$f_{12}(y_1, y_2 \mid \mathbf{z})= f_{1}(y_1 \mid y_2, \mathbf{z})f_{2}(y_2 \mid \mathbf{z}).$

On peut alors écrire la vraisemblance en fonction des densités des deux chocs indépendants : $v_1,\xi_1$

\begin{aligned} L (y_{1}, y_{2} ∣ z) & = \prod_{i}^{n} f_{1} (y_{1 i} ∣ y_{2 i}, z_{i}) f_{2} (y_{2 i} ∣ z_{i}) \\ = \prod_{i}^{n} Pr {(y_{1 i} = 1)}^{y_{1 i}} Pr {(y_{1 i} = 0)}^{1 - y_{1 i}} f_{2} (y_{2 i} ∣ z_{i}) \\ = \prod_{i}^{n} Pr {(y_{1 i}^{*} > 0)}^{y_{1 i}} Pr {(y_{1 i}^{*} \leq 0)}^{1 - y_{1 i}} f_{2} (y_{2 i} ∣ z_{i}) \\ = \prod_{i}^{n} Pr {(δ_{1} z_{1 i} + α_{1} y_{2 i} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2 i} - z_{i} δ) + ξ_{i} > 0)}^{y_{1 i}} \\ Pr {(δ_{1} z_{1 i} + α_{1} y_{2 i} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2 i} - z_{i} δ) + ξ_{i} \leq 0)}^{1 - y_{1 i}} \\ f_{2} (y_{2 i} ∣ z_{i}) \\ = \prod_{i}^{n} Pr {(ξ_{i} > - [δ_{1} z_{1 i} + α_{1} y_{2 i} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2 i} - z_{i} δ)])}^{y_{1 i}} \\ Pr {(ξ_{i} \leq - [δ_{1} z_{1 i} + α_{1} y_{2 i} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2 i} - z_{i} δ)])}^{1 - y_{1 i}} \\ f_{2} (y_{2 i} ∣ z_{i}) \\ = \prod_{i}^{n} Pr {(\frac{ξ_{i} - 0}{\sqrt{1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}}} > - \frac{δ_{1} z_{1 i} + α_{1} y_{2 i} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2 i} - z_{i} δ) + 0}{\sqrt{1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}}})}^{y_{1 i}} \\ Pr {(\frac{ξ_{i} - 0}{\sqrt{1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}}} \leq - \frac{δ_{1} z_{1 i} + α_{1} y_{2 i} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2 i} - z_{i} δ) + 0}{\sqrt{1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}}})}^{1 - y_{1 i}} \\ f_{2} (y_{2 i} ∣ z_{i}) \\ = \prod_{i}^{n} Pr {(\frac{ξ_{i}}{\sqrt{1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}}} > - w_{i})}^{y_{1 i}} Pr {(\frac{ξ_{i}}{\sqrt{1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}}} \leq - w_{i})}^{1 - y_{1 i}} f_{2} (y_{2 i} ∣ z_{i}) \\ = \prod_{i}^{n} {[1 - Pr (\frac{ξ_{i}}{\sqrt{1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}}} \leq - w_{i})]}^{y_{1 i}} Pr {(\frac{ξ_{i}}{\sqrt{1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}}} \leq - w_{i})}^{1 - y_{1 i}} f_{2} (y_{2 i} ∣ z_{i}) \\ = \prod_{i} {[1 - Φ (- w_{i})]}^{y_{1 i}} Φ (- w_{i})^{1 - y_{1 i}} φ (\frac{y_{2 i} - z_{i} δ}{τ}) \\ = \prod_{i}^{n} Φ (w_{i})^{y_{1 i}} {[1 - Φ (w_{i})]}^{1 - y_{1 i}} φ (\frac{y_{2 i} - z_{i} δ}{τ}) \\ = Φ (w)^{y_{1}} {[1 - Φ (w)]}^{1 - y_{1}} φ (\frac{y_{2} - z δ}{τ}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{L}(y_1,y_2\mid \mathbf{z}) &= \prod_i^n f_{1}(y_{1i} \mid y_{2i}, \mathbf{z}_i)f_{2}(y_{2i} \mid \mathbf{z}_i) \\ &= \prod_i^n \Pr\left(y_{1i}=1\right)^{y_{1i}}\Pr\left(y_{1i}=0\right)^{1-y_{1i}}f_{2}(y_{2i} \mid \mathbf{z}_i) \\ &= \prod_i^n \Pr\left(y_{1i}^*>0\right)^{y_{1i}}\Pr\left(y_{1i}^*\leq0\right)^{1-y_{1i}}f_{2}(y_{2i} \mid \mathbf{z}_i) \\ &= \prod_i^n \Pr\left(\delta_1 z_{1i} + \alpha_1 y_{2i} + \frac{\eta}{\tau^2}(y_{2i}-\textbf{z}_{i}\delta)+\xi_i>0\right)^{y_{1i}}\\ &\qquad\quad \Pr\left(\delta_1 z_{1i} + \alpha_1 y_{2i} + \frac{\eta}{\tau^2}(y_{2i}-\textbf{z}_i\delta)+\xi_i\leq0\right)^{1-y_{1i}}\\ &\qquad\quad f_{2}(y_{2i} \mid \mathbf{z}_i) \\ &= \prod_i^n \Pr\left(\xi_i>-\left[\delta_1 z_{1i} + \alpha_1 y_{2i} + \frac{\eta}{\tau^2}(y_{2i}-\textbf{z}_i\delta)\right]\right)^{y_{1i}}\\ &\qquad\quad \Pr\left(\xi_i\leq-\left[\delta_1 z_{1i} + \alpha_1 y_{2i} + \frac{\eta}{\tau^2}(y_{2i}-\textbf{z}_i\delta)\right]\right)^{1-y_{1i}}\\ &\qquad\quad f_{2}(y_{2i} \mid \mathbf{z}_i) \\ &= \prod_i^n \Pr\left(\frac{\xi_i-0}{\sqrt{1-\frac{\eta^2}{\tau^2}}}>-\frac{\delta_1 z_{1i} + \alpha_1 y_{2i} + \frac{\eta}{\tau^2}(y_{2i}-\textbf{z}_i\delta)+0}{\sqrt{1-\frac{\eta^2}{\tau^2}}}\right)^{y_{1i}}\\ &\qquad\quad \Pr\left(\frac{\xi_i-0}{\sqrt{1-\frac{\eta^2}{\tau^2}}}\leq-\frac{\delta_1 z_{1i} + \alpha_1 y_{2i} + \frac{\eta}{\tau^2}(y_{2i}-\textbf{z}_i\delta)+0}{\sqrt{1-\frac{\eta^2}{\tau^2}}}\right)^{1-y_{1i}}\\ &\qquad\quad f_{2}(y_{2i} \mid \mathbf{z}_i) \\ &= \prod_i^n \Pr\left(\frac{\xi_i}{\sqrt{1-\frac{\eta^2}{\tau^2}}}>-w_i\right)^{y_{1i}} \Pr\left(\frac{\xi_i}{\sqrt{1-\frac{\eta^2}{\tau^2}}}\leq-w_i\right)^{1-y_{1i}} f_{2}(y_{2i} \mid \mathbf{z}_i) \\ &= \prod_i^n \left[1-\Pr\left(\frac{\xi_i}{\sqrt{1-\frac{\eta^2}{\tau^2}}}\leq-w_i\right)\right]^{y_{1i}} \Pr\left(\frac{\xi_i}{\sqrt{1-\frac{\eta^2}{\tau^2}}}\leq-w_i\right)^{1-y_{1i}} f_{2}(y_{2i} \mid \mathbf{z}_i) \\ &= \prod_i \left[1-\Phi(-w_i)\right]^{y_{1i}} \Phi(-w_i)^{1-y_{1i}} \varphi\left(\frac{y_{2i}-\mathbf{z}_i\delta}{\tau}\right) \\ &= \prod_i^n \Phi(w_i)^{y_{1i}} \left[1-\Phi(w_i)\right]^{1-y_{1i}} \varphi\left(\frac{y_{2i}-\mathbf{z}_i\delta}{\tau}\right) \\ &= \Phi(w)^{y_{1}} \left[1-\Phi(w)\right]^{1-y_{1}} \varphi\left(\frac{y_{2}-\mathbf{z}\delta}{\tau}\right) \\ \end{align}$ où et sont la fonction de densité cumulative et la fonction de densité de probabilité de la distribution normale standard.

\begin{aligned} w_{i} = \frac{δ_{1} z_{1 i} + α_{1} y_{2 i} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2 i} - z_{i} δ)}{\sqrt{1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}}} . \end{aligned}

$\begin{align} w_i = \frac{\delta_1 z_{1i} + \alpha_1 y_{2i} + \frac{\eta}{\tau^2}(y_{2i}-\textbf{z}_i\delta)}{\sqrt{1-\frac{\eta^2}{\tau^2}}}. \end{align}$

Φ (z)

$\Phi(z)$

φ (z)

$\varphi(z)$

— Fredrik P
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