Différence de deux variables aléatoires log-normales iid

Soit $X_1$ et deux iidrv où . Je voudrais connaître la distribution pour .$X_2$$\log(X_1),\log(X_2) \sim N(\mu,\sigma)$$X_1 - X_2$

Le mieux que je puisse faire est de prendre la série Taylor des deux et de faire en sorte que la différence soit la somme de la différence entre deux VR normaux et deux RV chi carré en plus du reste de la différence entre les autres termes. Existe-t-il un moyen plus simple d'obtenir la distribution de la différence entre 2 VR log-normaux iid?

C'est un problème difficile. J'ai d'abord pensé à utiliser (une approximation de) la fonction de génération de moment de la distribution lognormale. Cela ne fonctionne pas, comme je vais l'expliquer. Mais d'abord une notation:

Soit la densité normale standard et Φ la fonction de distribution cumulative correspondante. Nous n'analyserons que la distribution log-normale des cas l n N ( 0 , 1 ) , qui a une fonction de densité f ( x ) = $\phi$$\Phi$$lnN(0,1)$ et fonction de distribution cumulative F(x)=Φ(lnx) Supposons queXetYsont des variables aléatoires indépendantes avec la distribution log-normale ci-dessus. Nous nous intéressons à la distribution deD=X-Y, qui est une distribution symétrique à zéro moyen. SoitM(t)=EetXest la fonction de génération de moment deX. Il est défini uniquement pour

$$f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}x} e^{-\frac12 (\ln x)^2}$$ $$F(x) =\Phi(\ln x)$$ $X$$Y$$D=X-Y$$M(t) = \DeclareMathOperator{\E}{E} \E e^{tX}$$X$ , donc non défini dans un intervalle ouvert contenant zéro. La fonction de génération de moment pour D est M D ( t ) = E e t ( X - Y ) = E e t X E e - t Y = M ( t ) M ( - t ) . Ainsi, la fonction de génération de moment pour D n'est définie que pour t = $t\in (-\infty,0]$$D$$M_D(t)=\E e^{t(X-Y)}= \E e^{tX} \E e^{-tY}= M(t)M(-t)$$D$$t=0$, donc pas très utile.

Cela signifie que nous aurons besoin d' une approche plus directe pour trouver des approximations pour la distribution de . Supposons que t ≥ 0 , calculez P ( D ≤ t $D$$t\ge 0$

$$\begin{align} P(D \le t) &= P(X-Y\le t) \\ &= \int_0^\infty P(X-y\le t | Y=y) f(y) \; dy \\ &= \int_0^\infty P(X\le t+y) f(y) \; dy \\ &= \int_0^\infty F(t+y) f(y) \; dy \end{align}$$ $t<0$ est résolu par symétrie, on obtient $P(D\le t)=1-P(D\le |t|)$).

Cette expression peut être utilisée pour l'intégration numérique ou comme base de simulation. D'abord un test:

 integrate(function(y) plnorm(y)*dlnorm(y), lower=0,  upper=+Inf)
  0.5 with absolute error < 2.3e-06

ce qui est clairement correct. Enveloppons cela dans une fonction:

pDIFF  <-  function(t) {
    d  <-  t
    for (tt in seq(along=t)) {
        if (t[tt] >= 0.0) d[tt] <- integrate(function(y) plnorm(y+t[tt])*dlnorm(y),
                                         lower=0.0,  upper=+Inf)$value else
                          d[tt] <- 1-integrate(function(y) plnorm(y+abs(t[tt]))*dlnorm(y),
                                         lower=0.0, upper=+Inf)$value
    }
    return(d)
}

> plot(pDIFF,  from=-5,  to=5)

qui donne:

On peut alors trouver la fonction de densité en se différenciant sous le signe intégral, en obtenant

dDIFF  <-  function(t) {
       d  <- t; t<- abs(t)
       for (tt in seq(along=t)) {
           d[tt]  <-  integrate(function(y) dlnorm(y+t[tt])*dlnorm(y),
                                lower=0.0,  upper=+Inf)$value
       }
       return(d)
}

que nous pouvons tester:

> integrate(dDIFF,  lower=-Inf,  upper=+Inf)
0.9999999 with absolute error < 1.3e-05

Et en traçant la densité que nous obtenons:

plot(dDIFF,  from=-5,  to=5)

J'ai également essayé d'obtenir une approximation analytique, mais jusqu'à présent, je n'ai pas réussi, ce n'est pas un problème facile. Mais l'intégration numérique comme ci-dessus, programmée en R est très rapide sur du matériel moderne, c'est donc une bonne alternative qui devrait probablement être beaucoup plus utilisée.

Cela ne répond pas strictement à votre question, mais ne serait-il pas plus facile de regarder le rapport $X$ et $Y$? Vous arrivez alors simplement à

$$\begin{align} \Pr\left(\frac{X}{Y} \leq t\right) &= \Pr\left(\log\left(\frac{X}{Y}\right) \leq \log(t) \right) \\ &= \Pr(\log(X) - \log(Y) \leq \log(t)) \\ &\sim \mathcal{N}(0, 2 \sigma^2) \end{align}$$

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