Qu'est-ce qu'une région à plus haute densité (HDR)?

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Dans l'inférence statistique , le problème 9.6b, une "région de plus haute densité (HDR)" est mentionné. Cependant, je n'ai pas trouvé la définition de ce terme dans le livre.

Un terme similaire est la plus haute densité postérieure (HPD). Mais cela ne rentre pas dans ce contexte, car 9.6b ne mentionne rien sur un a priori. Et dans la solution suggérée , il dit seulement que "évidemment est un HDR". $c(y)$

Ou le HDR est-il une région contenant le (s) mode (s) d'un pdf?

Qu'est-ce qu'une région à plus haute densité (HDR)?

— user3813057
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Oui. La page amazon est le livre (page d'achat). Le pdf est la solution aux problèmes du livre.

— user3813057

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Je recommande l'article de Rob Hyndman de 1996 «Calcul et représentation graphique des régions à plus haute densité» dans The American Statistician . Voici la définition du HDR, tirée de cet article:

Soit soit la fonction de densité d'une variable aléatoire . Alors le HDR est le sous-ensemble de l'espace échantillon de tel que où est la plus grande constante telle que $f(x)$ $X$ $100(1-\alpha)\%$ $R(f_\alpha)$ $X$
$R (F_{α}) = {X : F (X) \geq F_{α}},$ $R(f_\alpha) = \{x\colon f(x)\geq f_\alpha\},$ $f_\alpha$ $P (X \in R (F_{α})) \geq 1 - α .$ $P\big(X\in R(f_\alpha)\big)\geq 1-\alpha.$

La figure 1 de cet article illustre la différence entre le 75% HDR (donc ) et diverses autres régions de probabilité de 75% pour un mélange de deux normales ( est le -ème quantile, la moyenne et le écart type de la densité): $\alpha=0.25$ $c_q$ $q$ $\mu$ $\sigma$

HDR

L'idée dans une dimension est de prendre une ligne horizontale et de la déplacer vers le haut (jusqu'à ) jusqu'à ce que la zone au-dessus et en dessous de la densité soit . Alors le HDR est la projection sur l' axe de cette zone. $y=f_\alpha$ $1-\alpha$ $R_\alpha$ $x$

Bien sûr, tout cela fonctionne avec n'importe quelle densité, qu'elle soit postérieure bayésienne ou autre.

Voici un lien vers le code R, qui est le hdrcdepackage (et vers l'article sur JSTOR).

— S. Kolassa - Rétablir Monica
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Une densité postérieure [intervalle] la plus élevée est fondamentalement l'intervalle le plus court sur une densité postérieure pour un certain niveau de confiance donné. Une région de densité la plus élevée est probablement la même idée appliquée à toute densité arbitraire, donc pas nécessairement une distribution postérieure.

$1-\alpha$ $q_{1-\alpha/2 + c}$ $q_{\alpha/2 -c}$

$f(\cdot)$ $a$ $b$ $f(a) = f(b)$

— Taylor
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