Comment calculer l'intervalle de prédiction pour une régression multiple OLS?

Quelle est la notation algébrique pour calculer l'intervalle de prédiction pour la régression multiple?

Cela peut paraître idiot, mais j'ai du mal à trouver une notation algébrique claire de cela.

multiple-regression least-squares prediction-interval

— Michael
source

Prenez un modèle de régression avec observations et régresseurs: $N$ $k$

y = X β + u

$\mathbf{y=X\beta+u} \newcommand{\Var}{\rm Var}$

Étant donné un vecteur $\mathbf{x_0}$ , la valeur prédite pour cette observation serait

E [y | X_{0}] = {\hat{y}}_{0} = X_{0} \hat{β} .

$E[y \vert \mathbf{x_0}]=\hat y_0 = \mathbf{x_0} \hat \beta.$ Un estimateur cohérent de la variance de cette prédiction est

{\hat{V}}_{p} = s^{2} \cdot X_{0} \cdot (X^{'} X)^{- 1} X_{0}^{'},

$\hat V_p=s^2 \cdot \mathbf{x_0} \cdot(\mathbf{X'X})^{-1}\mathbf{x'_0},$ où

s^{2} = \frac{Σ_{je = 1}^{N} {\hat{u}}_{je}^{2}}{N - k} .

$s^2=\frac{\Sigma_{i=1}^{N} \hat u_i^2}{N-k}.$ L'erreur de prévision pour un

y_{0}

$y_0$ particulier est

\hat{e} = y_{0} - {\hat{y}}_{0} = X_{0} β + u_{0} - {\hat{y}}_{0} .

$\hat e=y_0-\hat y_0=\mathbf{x_0}\beta+u_0-\hat y_0.$ La covariance nulle entre

u_{0}

$u_0$ et

\hat{β}

$\hat \beta$ implique que

V une r [\hat{e}] = V une r [{\hat{y}}_{0}] + V une r [u_{0}],

$\Var[\hat e]=\Var[\hat y_0]+\Var[u_0],$ et un estimateur cohérent de cela est

{\hat{V}}_{F} = s^{2} \cdot X_{0} \cdot (X^{'} X)^{- 1} X_{0}^{'} + s^{2} .

$\hat V_f=s^2 \cdot \mathbf{x_0} \cdot(\mathbf{X'X})^{-1}\mathbf{x'_0} + s^2.$

L' intervalle de $1-\alpha$ $\rm confidence$ sera:

y_{0} \pm t_{1 - α / 2} \cdot \sqrt{{\hat{V}}_{p}} .

$y_0 \pm t_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\hat V_{p}}.$ L' intervalle de

1 - α

$1-\alpha$

p r e d i c t i o n

$\rm prediction$ sera plus large:

y_{0} \pm t_{1 - α / 2} \cdot \sqrt{{\hat{V}}_{F}} .

$y_0 \pm t_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\hat V_{f}}.$

— Dimitriy V. Masterov
source

La réponse ci-dessus est très bien faite, mais je pense que cette source aide à fournir un certain contexte à la question.

— June Skeeter

@Dimitriy Je crois que votre deuxième eqn devrait avoir une carotte / chapeau, '^', sur la .

β

$\beta$

— Don Slowik

L'erreur de prévision n'est-elle pas le résiduel: ?

\hat{e} = \hat{u}

$\hat{e}=\hat{u}$

— Don Slowik