Comprendre la formule de différenciation fractionnaire

J'ai une série temporelle et je voudrais la modéliser comme un processus ARFIMA (alias FARIMA). Si est intégré d'ordre (fractionnaire) , je voudrais le différencier par fraction pour le rendre stationnaire.$y_t$$y_t$$d$

Question : la formule suivante définissant la différenciation fractionnée est-elle correcte?

$\Delta^d y_t := y_t - d y_{t-1} + \frac{d(d-1)}{2!} y_{t-2} - \frac{d(d-1)(d-2)}{3!} y_{t-3} + ... +(-1)^{k+1} \frac{d(d-1) \cdot ... \cdot (d-k)}{k!} y_{t-k} + ...$

(Ici dénote une différence fractionnaire d'ordre .)$\Delta^d$$d$

Je base la formule sur cet article Wikipedia sur ARFIMA , chapitre ARFIMA ( ), mais je ne suis pas sûr de l'avoir correctement.$0,d,0$

Oui, cela semble correct. Le filtre fractionnaire est défini par l'expansion binomiale:

$\Delta^{d}=\left(1-L\right)^{d}=1-dL+\frac{d\left(d-1\right)}{2!}L^{2}-\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}L^{3}+\cdots$

Notez que est l'opérateur de décalage et que ce filtre ne peut pas être simplifié lorsque . Considérez maintenant le processus:$L$$0<d<1$

$\Delta^{d}X_{t}=\left(1-L\right)^{d}X_{t}=\varepsilon_{t}$

En expansion, nous obtenons:

$\Delta^{d}X_{t}=\left(1-L\right)^{d}X_{t}=X_{t}-dLX_{t}+\frac{d\left(d-1\right)}{2!}L^{2}X_{t}-\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}L^{3}X_{t}+\cdots=\varepsilon_{t}$

qui peut s'écrire:

$X_{t}=dX_{t-1}-\frac{d\left(d-1\right)}{2!}X_{t-2}+\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}X_{t-3}-\cdots+\varepsilon_{t}$

Voir Asset Price Dynamics, Volatility and Prediction de Stephen J. Taylor (p. 243 dans l'édition 2007) ou Time Series: Theory and Methods de Brockwell et Davis pour d'autres références.