X, Y sont iid de N (0,1). Quelle est la probabilité que X> 2Y

Je pensais, puisque sont de et ils sont indépendants, alors $X, Y$ $N(0,1)$

$X - 2Y$ a une distribution de . Alors a une probabilité de . $N(0, 5)$ $X-2Y > 0$ $1/2$

Ce qui précède me semble correct, bien qu'il semble que aurait alors une probabilité de . Cela semble un peu faux. Ai-je eu quelque chose de mal? $X>nY$ $1/2$

probability normal-distribution

— Vendetta
source

Qu'est-ce qui semble «un peu mal» là-bas? Pensez-vous à la probabilité conditionnelle peut-être? ( ... ce n'est pas la probabilité en question)

P (X > n Y | Y)

$P(X>nY|Y)$

— Glen_b -Reinstate Monica

Si je vous ai bien compris, les résultats ne vous semblent pas intuitifs. Mais même si n est grand, Y est positif avec la probabilité (et négatif avec la probabilité ). Bien que | X | est peu susceptible d'être supérieur à | nY |, la probabilité sans valeurs absolues est raisonnelle par .

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

— Lan

Avec une normale standard bivariée (c'est-à-dire iid normale normale), la probabilité de se trouver d'un côté d'une ligne passant par l'origine est quelle que soit la pente de la ligne. $\frac{_1}{^2}$

entrez la description de l'image ici

Cela découle, par exemple, de la symétrie de rotation de la distribution bivariée autour de , car nous pourrions faire pivoter le problème pour considérer en coordonnées tournées. $O$ $P(X'\gt0)$

En effet, considérer l'utilisation de transformations affines signifie qu'elle doit être beaucoup plus généralement - l'argument s'appliquera à toute normale bivariée où les deux variances sont supérieures à 0. $\frac{_1}{^2}$

— Glen_b -Reinstate Monica
source

Merci, je viens de trouver ma conclusion un peu contre-intuitive, mais votre diagramme me le montre clairement.

— Vendetta

Si et sont des variables aléatoires moyenne nulle (pas nécessairement indépendantes), alors est une variable aléatoire normale à moyenne nulle et donc indépendance et les variances n'ont rien à voir avec la question: tout ce qu'il faut pour que le résultat ci-dessus se vérifie, c'est que les variables soient conjointement normales et que les moyennes soient nulles. (Exception lorsque est égal à , c'est-à-dire qu'il s'agit d'une variable aléatoire normale dégénérée aka une constante qui se produit lorsque et sont parfaitement corrélés et ).

X

$X$

Y

$Y$

X - a Y

$X-aY$

P {X > a Y} = P {X - a Y > 0} = \frac{1}{2} .

$P\{X > aY\} = P\{X-aY > 0\} = \frac 12.$

X - a Y

$X-aY$

0

$0$

X

$X$

Y

$Y$

σ_{X} = a σ_{Y}

$\sigma_X = a\sigma_Y$

— Dilip Sarwate

Merci Dilip, votre commentaire est bien sûr tout à fait correct - je commençais avec les conditions données et essayais de motiver le résultat que le PO avait déjà obtenu.

— Glen_b -Reinstate Monica