Distribution approximative du produit de N iid normal? Cas particulier μ≈0

Étant donné iid et , recherchant: $N\geq30$ $X_n\approx\mathcal{N}(\mu_X,\sigma_X^2)$ $\mu_X \approx 0$

approximation précise de la distribution sous forme fermée de $Y_N=\prod\limits_{1}^{N}{X_n}$
approximation asymptotique ( exponentielle ?) du même produit

Il s'agit d'un cas particulier d'une question plus générale . $\mu_X \approx 0$

— Andrei Pozolotin
source

1. Avez-vous des informations sur

? (Ce serait bien si tous les

, par exemple.) (2) Une approximation asymptotique normale sera horrible , car asymptotiquement

ne semblera pas à distance normal.

μ_{X}

$\mu_X$

σ_{X}

$\sigma_X$

μ_{X} / σ_{X} ≫ 0

$\mu_X/\sigma_X \gg 0$

Y

$Y$

— whuber

Je viens de jouer rapidement avec ça. Si vous êtes intéressé, il est possible d'obtenir une solution de forme fermée exacte pour le produit de

variables aléatoires qui sont iid

. Le cas

non nul rend les choses beaucoup plus compliquées.

n

$n$

N (0, σ^{2})

$N(0, \sigma^2)$

μ

$\mu$

— wolfies

@whuber (1) après avoir fait du monte carlo avec des

, j'ai trouvé que la distribution de

se comportait plutôt bien pour

; maintenant je voudrais trouver une belle expression pour

similaire à la façon dont

a peu de belles approximations. J'ai construit quelques approximations via l'expansion de taylor, mais elles se comportent mal. (2) eh bien,

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

F

$F$

N > 30

$N>30$

| μ_{X} | \geq 10 σ_{X}

$|\mu_X|\geq10\sigma_X$

μ_{F}

$\mu_F$

σ_{F}

$\sigma_F$

χ^{2}

${\chi}^2$

F

$F$ "ressemble" certainement à une somme de normal avec chi au carré, donc

peut être réduit à la normale, si l'approximation "le prouve".

F

$F$

— Andrei Pozolotin

Lorsque

sera bien approché par une distribution lognormale (comme le montre une application du théorème de Barry-Esseen au

μ_{X} \geq 10 σ_{X}

$\mu_X \ge 10\sigma_X$

Y

$Y$

\log (X)

$\log(X)$

— whuber

@whuber application directe de Barry-Esseen donne

, ce qui est bien en effet, mais il perd une certaine structure:

doit être négatif,

doit dépendre de

, etc.

F_{N} \approx 0 + \frac{1}{\sqrt{N}} Z

$F_N \approx 0 + \frac{1}{\sqrt{N}}Z$

μ_{F}

$\mu_F$

σ_{F}

$\sigma_F$

α

$\alpha$

— Andrei Pozolotin

Il est possible d'obtenir une solution exacte dans le cas de moyenne nulle (partie B).

Le problème

Soit désignent iid variables, chacune avec un pdf commun : $(X_1, \dots, X_n)$ $n$ $N(0,\sigma^2)$ $f(x)$

On cherche le pdf de , pour $\prod_{i=1}^n X_i$ $n = 2, 3, \dots$

Solution

Le pdf du produit de deux de ces normales est simplement:

... où j'utilise la TransformProductfonction du package mathStatica pour Mathematica . Le domaine du support est:

Le produit de 3, 4, 5 et 6 normales est obtenu en appliquant itérativement la même fonction (ici quatre fois):

... où MeijerGdénote la fonction Meijer G

$n$ $N(0,\sigma^2)$

\frac{1}{(2 π)^{\frac{n}{2}} σ^{n}} MeijerG [{{}, {}}, {{0_{1}, \dots, 0_{n}}, {}}, \frac{x^{2}}{2^{n} σ^{2 n}}] for x \in R

$\frac{1}{(2 \pi )^{\frac{n}{2}} \sigma ^n} \text{MeijerG}[\{ \{ \}, \{ \} \}, \{ \{0_1, \dots, 0_n \}, \{ \} \}, \frac{x^2}{2^n \sigma ^{2 n}}] \quad \quad \text{ for } x \in \mathbb{R}$

Vérification rapide de Monte Carlo

Voici une vérification rapide comparant:

$n = 6$ $\sigma=3$
vers le pdf empirique de Monte Carlo: courbe BLEUE ondulée

Semble bien! [la courbe de Monte bleu ondulée obscurcit la courbe exacte en pointillés rouges]

— Wolfies
source

l o g (. . . M e i j e r G (. . .))

$log(...MeijerG(...))$