Une question liée au lemme Borel-Cantelli

Remarque:

Borel-Cantelli Lemma dit que

$\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) < \infty \Rightarrow P (lim sup A_{n}) = 0$ $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) \lt \infty \Rightarrow P(\lim\sup A_n)=0$
$\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) = \infty and A_{n}'s are independent \Rightarrow P (lim sup A_{n}) = 1$ $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) =\infty \textrm{ and } A_n\textrm{'s are independent} \Rightarrow P(\lim\sup A_n)=1$

Alors,

\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n} A_{n + 1}^{c}) < \infty

$\sum_{n=1}^\infty P(A_nA_{n+1}^c )\lt \infty$

en utilisant le Lemme Borel-Cantelli

Je veux montrer que

Premièrement,

$\lim_{n\to \infty}P(A_n)$ existe

et deuxièmement,

$\lim_{n\to \infty}P(A_n) =P(\lim\sup A_n)$

Veuillez m'aider à montrer ces deux parties. Je vous remercie.

— B11b
source

Non, le lemme Borel-Cantelli ne le dit pas (tout), du moins pas sans hypothèses supplémentaires.

— Cardinal

@cardinal bien, comment puis-je montrer ces deux déclarations? pouvez-vous me l'expliquer? je n'ai pas assez d'idée. je serai heureux si vous montrez une manière solutine :) merci

— B11b

Ajout d'une "autre hypothèse".

— Zen

Note mineure: comme mentionné ici , par exemple, nous pouvons nous débrouiller avec une indépendance par paire seulement de l' dans la deuxième partie du lemme

A_{n}

$A_n$

— 16ld

Aucune des affirmations n'est vraie.

Soit la chance des têtes dans un tirage au sort, avec une probabilité lorsque est impair et lorsque est pair. Alors: $A_n$ $1/n^2$ $n$ $1-\frac{1}{n^2}$ $n$

\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}, A_{n + 1}^{c}) = \sum_{o d d n}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} (1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}}) + \sum_{e v e n n} \frac{1}{n^{2}} (1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}}) < \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} < \infty .

$\sum_{n=1}^\infty P(A_n,A_{n+1}^c)=\sum_{odd \ n}^\infty \frac{1}{n^2}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)+\sum_{even \ n}\frac{1}{n^2}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)<\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}<\infty.$

Cependant, n'existe clairement pas. Le mieux que vous puissiez conclure est . $\lim_nP(A_n)$ $\lim_n P(A_n,A_{n+1}^c)\rightarrow 0$

— Alex R.
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