Comment puis-je calculer

Comment évaluer l'attente du CDF normal au carré sous forme fermée?

E [Φ {(une Z + b)}^{2}] = \int_{- \infty}^{\infty} Φ {(une z + b)}^{2} ϕ (z) ré z

$\mathbb{E}\left[\Phi\left(aZ+b\right)^{2}\right] = \int_{-\infty}^{\infty}\Phi\left(az+b\right)^{2}\phi(z)\,dz$

Ici, , sont des nombres réels, , et et sont respectivement les fonctions de densité et de distribution d'une variable aléatoire normale standard. $a$ $b$ $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$ $\phi(\cdot)$ $\Phi(\cdot)$

mathematical-statistics

— Andrei
source

Eh bien, où êtes-vous coincé? Avez-vous essayé de l'évaluer? Peut-être utiliser le fait que

Var (g (X)) = E [g (X)^{2}] - (E [g (X)])^{2}

$\text{Var}(g(X))=E[g(X)^2]-(E[g(X)])^2$

— stochée

J'ai essayé d'évaluer l'intégrale, en utilisant l'intégration par parties et d'autres techniques (simples), mais cela ne m'a conduit nulle part. De plus, je suis parti de la variance pour arriver ici. J'ai trouvé une question similaire ( stats.stackexchange.com/questions/61080/… ), mais l'extension au CDF carré ne semble pas être triviale.

— Andrei

Avez-vous envisagé d'utiliser des coordonnées polaires?

— StatsStudent

Non, non, pouvez-vous détailler un peu?

— Andrei

, alors

est répartie uniformément entre 0 et 1. Son second moment est alors

. Je me souviens avoir essayé de calculer quelque chose comme ce que vous demandez pour le général

b = 0

$b=0$

a = 1

$a=1$

Φ (Z)

$\Phi(Z)$

1 / 3

$1/3$

a

$a$

b

$b$ , mais je n'ai trouvé aucune solution de forme fermée.

— StijnDeVuyst

Comme indiqué dans mon commentaire ci-dessus, consultez Wikipedia pour une liste des intégrales des fonctions gaussiennes. En utilisant votre notation, cela donne oùest la fonction T d'Owen définie par

\int_{- \infty}^{\infty} Φ (une z + b)^{2} ϕ (z) ré z = Φ (\frac{b}{\sqrt{1 + {une}^{2}}}) - 2 T (\frac{b}{\sqrt{1 + {une}^{2}}}, \frac{1}{\sqrt{1 + 2 {une}^{2}}}),

$\int_{-\infty}^{\infty} \Phi (az+b)^2 \phi(z) dz=\Phi \left( {{b} \over {\sqrt{1+a^2}} }\right) - 2T \left( {{b} \over {\sqrt{1+a^2}}} \ , {{1} \over {\sqrt{1+2a^2}}} \right) ,$

T (h, q)

$T(h,q)$

T (h, q) = ϕ (h) \int_{0}^{q} \frac{ϕ (h X)}{1 + X^{2}} ré X

$T(h,q)=\phi(h) \int_0^q {{\phi(hx) } \over {1+x^2}} dx$

Si vous branchez vous obtiendrez $a=1,b=0$ comme l'indiquent les commentaires. $1 \over 3$

— Soakley
source

Merci beaucoup, c'est exactement ce que je cherchais.

— Andrei