Quel est le minimum de sur toutes les distributions unimodales continues sur un intervalle borné ?

Toutes les distributions sur un intervalle borné satisfont: $[0,1]$

σ^{2} \leq μ (1 - μ)

$\sigma^2 \le \mu (1-\mu)$

où est la moyenne et la variance. $\mu$ $\sigma^2$

Supposons maintenant que la distribution soit unimodale, en ce sens qu'elle a au plus un maximum local. Quelle est la valeur minimale que le rapport suivant peut avoir:

\frac{μ (1 - μ)}{σ^{2}} ?

$\frac{\mu (1-\mu)}{\sigma^2}?$

variance

— Becko
source

... votre première équation implique que le rapport ne peut pas être inférieur à 1. Demandez-vous quelle distribution la rend égale à 1?

— user603

Jetez un oeil à un Bernoulli avec . Il est assez courant que les solutions à ces types de problèmes extrêmes soient discrètes et ne portent que sur quelques points. Vous semblez avoir fait plusieurs publications de type "bookwork". Est-ce que ce travail est pour un sujet?

(p)

$(p)$

μ = p

$\mu=p$

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b La question demande cependant une distribution unimodale, ce qui n'est pas le cas d'une version tachée d'un Bernoulli.

— Dougal

La distribution uniforme sur donne une valeur de 3. Les distributions bêta donnent et ne sont unimodales que si , , donc aussi 3 (quand il est également uniforme). J'ai essayé plusieurs autres familles de distribution nommées ( d'ici ) et n'ai jamais obtenu une valeur meilleure que 3. J'ai également commencé à l'écrire comme un problème d'optimisation en faisant une interpolation linéaire entre les points, mais cela ressemblait à un problème d'optimisation difficile, et je me suis arrêté avant en fait le codage et l'essayer.

[0, 1]

$[0, 1]$

α + β + 1

$\alpha + \beta + 1$

α > 1

$\alpha > 1$

β > 1

$\beta > 1$

— Dougal

Interrogé simultanément sur math.SE où il a déjà reçu deux réponses (dont une a été supprimée par l'auteur de la réponse à cause de l'impolitesse perçue de l'OP).

— Dilip Sarwate

Un minimum n'existe pas. Cependant, un infimum fait. Il résulte du fait que

Le supremum de la variance des distributions unimodales définies sur $[0,1]$ avoir méchant $\mu$ est $\mu(2 - 3\mu)/3$ ( $0 \le \mu \le 1/2$ ) ou $(1-\mu)(3\mu-1)/3$ ( $1/2\le \mu \le 1$ ).

Le supremum est en fait atteint par une distribution qui - bien qu'elle n'ait pas de fonction de densité - peut encore (dans un sens généralisé) être considérée comme "unimodale"; il aura un atome $0$ (quand $\mu \lt 1/2$ ) ou un atome $1$ (quand $\mu \gt 1/2$ ) mais sinon être uniforme.

Je vais esquisser l'argument. La question nous demande d'optimiser une fonction linéaire

L_{x^{2}} : D [0, 1] \to R

$\mathcal{L_{x^2}}: D[0,1] \to \mathbb{R}$

soumis à diverses contraintes d’égalité et d’inégalité, où $D[0,1]$ est l'ensemble des mesures (signées) sur l'intervalle $[0,1]$ . Pour différenciable $F:[0,1]\to\mathbb{R}$ et $g:[0,1]\to\mathbb{R}$ toute fonction continue, définir

L_{g} [F] = \int_{0}^{1} g (x) d F (x),

$\mathcal{L}_g[F] = \int_0^1 g(x) dF(x),$

et étendre $\mathcal{L}$ à tous $D[0,1]$ par continuité.

Les contraintes d'égalité sont

L_{1} [F] = 1

$\mathcal{L}_1[F] = 1$

L_{x} [F] = μ .

$\mathcal{L}_x[F] = \mu.$

Les contraintes d'inégalité sont que

f (x) \geq 0

$f(x) \ge 0$

et il existe $\lambda \in [0,1]$ (un "mode") tel que pour tous $0\le x \le y \le \lambda$ et tout $\lambda \le y \le x \le 1$ ,

f (x) \leq f (y) .

$f(x) \le f(y).$

Ces contraintes déterminent un domaine convexe $\mathcal{X}\subset D[0,1]$ par-dessus lequel $\mathcal{L}_{x^2}$ doit être optimisé.

Comme pour tout programme linéaire dans un espace de dimension finie, les extrêmes de $\mathcal{L}_g$ sera atteint aux sommets de $\mathcal{X}$ . Ce sont évidemment les mesures, absolument continues par rapport à la mesure de Lebesgue, qui sont constantes par morceaux , parce que les sommets sont là où presque toutes les inégalités deviennent des égalités: et la plupart de ces inégalités sont associées à l'unimodalité de $F$ (comportement de queue non croissant).

Afin de satisfaire les deux contraintes d'égalité, nous devons faire une seule coupure dans le graphique de $f$ , disons à un certain nombre $0\lt \lambda \lt 1$ . Laisser la valeur constante sur l'intervalle $[0,\lambda)$ être $a$ et la valeur constante sur $(\lambda, 1]$ être $b$ , un calcul simple basé sur les contraintes d'égalité donne

a = \frac{1 + λ - 2 μ}{λ}, b = \frac{2 μ - λ}{1 - λ} .

$a = \frac{1+\lambda-2\mu}{\lambda},\ b = \frac{2\mu-\lambda}{1-\lambda}.$

$Figure 1: Tracé d'un $ f _ {(\ lambda, \ mu)} $ typique.$

Cette figure dit tout: elle représente graphiquement la fonction de distribution localement constante de la moyenne $\mu$ avec au plus une seule pause à $\lambda$ . (L'intrigue de $f_{(\lambda,\mu)}$ pour $\mu \gt 1/2$ ressemble à l'inversion de celui-ci.)

La valeur de $\mathcal{L}_{x^2}$ à de telles mesures (que je désignerai $f_{(\lambda, \mu)}$ , la densité d'une distribution $F_{(\lambda, \mu)}$ ) est tout aussi facilement calculé

L_{x^{2}} [f_{(λ, μ)}] = \frac{1}{3} (2 μ + (2 μ - 1) λ) .

$\mathcal{L}_{x^2}[f_{(\lambda, \mu)}] = \frac{1}{3}\left(2\mu + (2\mu - 1)\lambda\right).$

Cette expression est linéaire dans $\lambda$ , ce qui implique qu'il est maximisé à $0$ (quand $\mu \lt 1/2$ ), $1$ (quand $\mu \gt 1/2$ ), ou à n'importe quelle valeur (lorsque $\mu = 1/2$ ). Cependant, sauf lorsque $\mu=1/2$ , les valeurs limites des mesures $f_{(\lambda, \mu)}$ ne sont plus continus: la distribution correspondante $F = \lim_{\lambda\to 0} F_{(\lambda, \mu)}$ ou $F = \lim_{\lambda\to 1} F_{(\lambda, \mu)}$ a une discontinuité de saut à $0$ ou $1$ (mais pas les deux).

$Figure 2: Graphique de $ F $ optimal pour $ \ mu = 2/5 $.$

Cette figure représente la valeur optimale $F$ pour une moyenne de $\mu \approx 2/5$ .

Quoi qu'il en soit, la valeur optimale est

σ_{μ}^{2} = sup_{λ} L_{x^{2}} [f_{(λ, μ)}] = \frac{1}{3} μ (2 - 3 μ) .

$\sigma^2_\mu = \sup_\lambda \mathcal{L}_{x^2}[f_{(\lambda, \mu)}] = \frac{1}{3}\mu(2 - 3\mu).$

Par conséquent, l'infimum de $\mu(1-\mu)/\sigma^2$ pour $0\le \mu \lt 1/2$ est

μ (1 - μ) / σ_{μ}^{2} = \frac{3 - 3 μ}{2 - 3 μ},

$\mu(1-\mu)/\sigma^2_\mu = \frac{3-3\mu}{2-3\mu},$

avec une expression comparable lorsque $1/2\lt \mu \le 1$ (obtenu en remplaçant $\mu$ par $1-\mu$ ).

$Figure 3: Graphique de l'infimum en fonction de $ \ mu $.$

Ce chiffre trace le supremum $\mu(1-\mu)/\sigma^2_\mu$ contre $\mu$ .

— whuber
source

Je pense que c'est une belle réponse. Est-ce basé sur un manuel ou sur du papier? Existe-t-il une référence avec plus de résultats comme celui-ci?

— Becko

@becko Merci. J'aimerais pouvoir aider, mais c'est une solution originale. Je ne sais pas par où commencer pour chercher d'autres résultats, car je ne suis pas spécialiste des inégalités de répartition.

— whuber