Une convergence presque sûre n'implique pas une convergence complète

Nous disons que convergent complètement vers si pour chaque .$X_1, X_2, \ldots$$X$$\epsilon>0$ $\sum_{n=1}^\infty \text{P}\left(|X_n-X|>\epsilon\right) <\infty$

Avec le lemme de Borel Cantelli, il est simple de prouver qu'une convergence complète implique une convergence presque sûre.

Je cherche un exemple où la convergence ne peut pas être prouvée avec Borel Cantelli. Il s'agit d'une séquence de variables aléatoires qui converge presque sûrement mais pas complètement.

Soit avec l'algèbre sigma Borel et la mesure uniforme . Définir$\Omega=(0,1)$$\mathfrak{F}$$\mu$

et sinon. Les sont évidemment mesurables sur l'espace des probabilités .X n ( Ω , F , μ $X_n(\omega)=0$$X_n$$(\Omega, \mathfrak{F}, \mu)$

Pour tout et tout il est vrai que . Ainsi, par définition, la séquence converge vers (pas seulement presque sûrement!).N > 1 / ω X n ( ω ) = 0 ( X n ) $\omega\in\Omega$$N \gt 1/\omega$$X_n(\omega)=0$$(X_n)$$0$

Cependant, chaque fois que , , d'oùPr ( X n > ϵ ) = Pr ( X n ≠ 0 ) = 1 /$0 \lt \epsilon \lt 1$$\Pr(X_n\gt \epsilon) = \Pr(X_n \ne 0) = 1/n$

qui diverge vers .$\infty$