Lequel converge le plus vite, le moyen ou le médian?

Si je tire des variables iid de N (0,1), la moyenne ou la médiane convergeront-elles plus rapidement? Combien plus rapide?

Pour être plus précis, soit une séquence de variables iid tirées de N (0,1). Définissez et comme étant la médiane de . Lequel converge vers 0 plus rapidement, ou ? $x_1, x_2, \ldots$ $\bar{x}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$ $\tilde{x}_n$ $\{x_1, x_2, \ldots x_n\}$ $\{\bar{x}_n\}$ $\{\tilde{x}_n\}$

Pour savoir concrètement ce que signifie une convergence plus rapide: existe-t- il $\lim_{n \to \infty} Var(\bar{X}_n)/Var(\tilde{X}_n)$ ? Si oui, c'est quoi?

normal-distribution mean median

— Josh Brown Kramer
source

Vous vous interrogez sur la convergence en probabilité d'une estimation ponctuelle par rapport au paramètre de population? Ou posez-vous des questions sur la convergence dans la distribution d'une variable aléatoire?

— Ryan Simmons

Par «converger plus rapidement vers 0», voulez-vous dire «qui a la plus petite variance asymptotique» ou autre chose?

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b Dans une certaine mesure, cela est motivé par un problème réel: la médiane est plus robuste contre les valeurs aberrantes, il semble donc que la médiane de l'échantillon devrait converger plus rapidement que la moyenne à mesure que la taille de l'échantillon augmente. Je ne sais pas vraiment quelle est la meilleure façon d'exprimer le taux de convergence dans cette situation. Pour être concret, je pourrais demander si

lim_{n \to \infty} V a r ({\bar{X}}_{n}) / V a r ({\tilde{X}}_{n})

$\lim_{n \to \infty} Var(\bar{X}_n)/Var(\tilde{X}_n)$ existe, et si oui, de quoi s'agit-il.

— Josh Brown Kramer du

Si les données sont réellement échantillonnées à partir d'une distribution normale, les valeurs aberrantes sont extrêmement rares - si rares que l'impact sur la moyenne laisse la moyenne de l'échantillon comme l'estimation la plus efficace de la moyenne de la population. Mais vous n'avez pas besoin d'une queue lourde variable pour rendre la médiane compétitive. Ce ratio que vous mentionnez sera en effet d'environ 0,63

— Glen_b -Reinstate Monica

La moyenne et la médiane sont les mêmes, dans ce cas particulier. On sait que la médiane est efficace à 64% comme moyenne, de sorte que la moyenne est plus rapide à converger. Je peux écrire plus de détails mais wikipedia traite exactement votre question.

— Yair Daon
source

Avez-vous une citation?

— Josh Brown Kramer

Laplace, PSde (1818) Deuxième supplément à la Théorie Analytique des Probabilités , Paris, Courcier - Laplace donne la distribution asymptotique pour la moyenne et la médiane. Voir aussi la section sur la variance de la médiane sur Wikipédia

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b: (+1) la référence ultime !!!

— Xi'an

@Glen_b ouais c'était une réponse épique, j'ai ri assez fort. Merci pour ça!

— user541686

@ xi'an vouliez-vous écrire que la moyenne et la médiane sont la même quantité?

— Yair Daon