Intuition pour les moments supérieurs dans les statistiques circulaires

Dans les statistiques circulaires, la valeur attendue d'une variable aléatoire avec des valeurs sur le cercle est définie comme (voir wikipedia ). Il s'agit d'une définition très naturelle, tout comme la définition de la variance Nous n'avons donc pas eu besoin d'un second moment pour définir la variance! $Z$ $S$

m_{1} (Z) = \int_{S} z P^{Z} (θ) ré θ

$m_1(Z)=\int_S z P^Z(\theta)\textrm{d}\theta$

V une r (Z) = 1 - | m_{1} (Z) | .

$\mathrm{Var}(Z)=1-|m_1(Z)|.$

Néanmoins, nous définissons les moments supérieurs J'avoue que cela semble plutôt naturel à première vue et très similaire à la définition des statistiques linéaires. Mais je me sens toujours un peu mal à l'aise, et j'ai ce qui suit

m_{n} (Z) = \int_{S} z^{n} P^{Z} (θ) ré θ .

$m_n(Z)=\int_S z^n P^Z(\theta)\textrm{d}\theta.$

Des questions:

1. Qu'est-ce qui est mesuré par les moments supérieurs définis ci-dessus (intuitivement)? Quelles propriétés de la distribution peuvent être caractérisées par leurs moments?

2. Dans le calcul des moments supérieurs, nous utilisons la multiplication de nombres complexes, bien que nous ne considérions les valeurs de nos variables aléatoires que comme des vecteurs dans le plan ou comme des angles. Je sais que la multiplication complexe est essentiellement l'addition d'angles dans ce cas, mais quand même: pourquoi la multiplication complexe est-elle une opération significative pour les données circulaires?

— Rasmus
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Les moments sont les coefficients de Fourier de la mesure de probabilité $P^Z$ . Supposons (par souci d'intuition) que $Z$ a une densité. Ensuite, l'argument (angle de $1$ dans le plan complexe) de $Z$ a une densité sur $[0,2\pi)$ et les moments sont les coefficients lorsque cette densité est développée dans une série de Fourier. Ainsi, l'intuition habituelle des séries de Fourier s'applique - celles-ci mesurent les forces des fréquences dans cette densité.

Quant à votre deuxième question, je pense que vous avez déjà répondu: "la multiplication complexe est essentiellement l'addition d'angles dans ce cas".

— Mark Meckes
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Merci, c'est vraiment utile. (Honte à moi de ne pas reconnaître une série de Fourier même quand je fonce vers elle ...)

— Rasmus

Est-ce à dire que les moments d'une distribution circulaire doivent être comparés à la fonction caractéristique d'une distribution linéaire plutôt qu'à ses moments?

— Rasmus

@Rasmus: Je suppose que cela dépend exactement de ce que vous voulez faire des informations, mais en général, je dirais que oui.

— Mark Meckes