k-means || alias K-Means évolutif ++

Bahman Bahmani et al. a introduit k-means ||, qui est une version plus rapide de k-means ++.

Cet algorithme est tiré de la page 4 de leur article , Bahmani, B., Moseley, B., Vattani, A., Kumar, R., et Vassilvitskii, S. (2012). K-means évolutif ++. Actes de la dotation VLDB , 5 (7), 622-633.

Malheureusement, je ne comprends pas ces lettres grecques fantaisistes, j'ai donc besoin d'aide pour comprendre comment cela fonctionne. Autant que je sache, cet algorithme est une version améliorée de k-means ++, et il utilise un suréchantillonnage, pour réduire le nombre d'itérations: k-means ++ doit itérer fois, où k est le nombre de clusters souhaités.$k$$k$

J'ai obtenu une très bonne explication grâce à un exemple concret du fonctionnement de k-means ++, je vais donc réutiliser le même exemple.

Exemple

J'ai le jeu de données suivant:

(7,1), (3,4), (1,5), (5,8), (1,3), (7,8), (8,2), (5,9), (8 , 0)

(nombre de grappes souhaitées)$k = 3$

(facteur de suréchantillonnage)$\ell = 2$

J'ai commencé à le calculer, mais je ne sais pas si je l'ai bien fait, et je n'ai aucune idée des étapes 2, 4 ou 5.

• Étape 1: échantillonner un point uniformément au hasard à partir de $\mathcal{C} \leftarrow$$X$

  Disons que le premier centroïde est (identique à k-means ++)$(8,0)$

• Étape 2: $\psi \leftarrow \phi_X(\mathcal{C})$

  aucune idée

• Étape 3:

  • $d^2(x, \mathcal{C}) = [2, 41, 74, 73, 58, 65, 4, 90]$

    Nous calculons les distances au carré du centre le plus proche de chaque point. Dans ce cas, nous n'avons pour l'instant qu'un seul centre .$(8,0)$

  • $\ell \cdot d^2(x, \mathcal{C}) = [4, 81, 148, 146, 116, 130, 8, 180]$

    (Parce que dans ce cas.)$\ell = 2$

  • $\text{cumulative } \ell \cdot d^2(x, \mathcal{C}) = [4, 85, 233, 379, 495, 625, 633, 813]$

    Choisissez nombres aléatoires dans l'intervalle [ 0 , 813 ) . Disons que vous choisissez 246.90 et 659.42 . Ils se situent dans les fourchettes [ 379 , 495 ) et [ 633 , 813 ) qui correspondent respectivement aux 4e et 8e éléments.$\ell = 2$$[0, 813)$$246.90$$659.42$$[379, 495)$$[633, 813)$

  • Répétez-le fois, mais qu'est-ce que ψ (calculé à l'étape 2) dans ce cas? $\mathcal{O}(\log \psi)$$\psi$

• Etape 4: Pour , ensemble avec x étant le nombre de points en X plus proche de x que de tout autre point dans C .$x \in \mathcal{C}$$w_x$$X$$x$$\mathcal{C}$
• Étape 5: Re-regrouper les points pondérés en en k grappes.$\mathcal{C}$$k$

Toute aide en général ou dans cet exemple particulier serait formidable.

points de données: (7,1), (3,4), (1,5), (5,8), (1,3), (7,8), (8,2), (5,9) , (8,0)

l = 2 // facteur de suréchantillonnage

k = 3 // non. des clusters souhaités

Étape 1:

$\mathcal{C}$$\{ c_1\} = \{ (8,0) \}$$X = \{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8\}=\{(7,1),(3,4),(1,5),(5,8),(1,3),(7,8),(8,2),(5,9)\}$

Étape 2:

$\phi_X(\mathcal{C})$$X$$\mathcal{C}$$X$$\mathcal{C}$$X$

$d^2_{\mathcal{C}}(x_i)$$x_i$$\mathcal{C}$$\psi = \sum_{i=1}^{n}d^2_{\mathcal{C}}(x_i)$

$\mathcal{C}$$X$$d^2_{\mathcal{C}}(x_i)$$\mathcal{C}$$x_i$$\phi = \sum_{i=1}^{n}{||x_i-c||^2}$

$\psi = \sum_{i=1}^nd^2(x_i,c_1) = 1.41+6.4+8.6+8.54+7.61+8.06+2+9.4 = 52.128$ $log(\psi) = log(52.128) = 3.95 = 4 (rounded)$

$\mathcal{C}$

Étape 3:

$log(\psi)$

$X$$X$$x_i$$p_x = l d^2(x,\mathcal{C})/\phi_X(\mathcal{C})$$l$$d^2(x,\mathcal{C})$$\phi_X(\mathcal{C})$ est expliqué à l'étape 2.

L'algorithme est simplement:

• $X$$x_i$
• $x_i$$p_{x_i}$
• $[0, 1]$$p_{x_i}$$\mathcal{C'}$
• $\mathcal{C'}$$\mathcal{C}$

$l$$X$

for(int i=0; i<4; i++) {

  // compute d2 for each x_i
  int[] psi = new int[X.size()];
  for(int i=0; i<X.size(); i++) {
    double min = Double.POSITIVE_INFINITY;
    for(int j=0; j<C.size(); j++) {
      if(min>d2(x[i],c[j])) min = norm2(x[i],c[j]);
    }
    psi[i]=min;
  }

  // compute psi
  double phi_c = 0;
  for(int i=0; i<X.size(); i++) phi_c += psi[i];

  // do the drawings
  for(int i=0; i<X.size(); i++) {
    double p_x = l*psi[i]/phi;
    if(p_x >= Random.nextDouble()) {
      C.add(x[i]);
      X.remove(x[i]);
    }
  }
}
// in the end we have C with all centroid candidates
return C;

Étape 4:

$w$$\mathcal{C}$$0$$X$$x_i \in X$$j$$\mathcal{C}$$w[j]$$1$$w$

double[] w = new double[C.size()]; // by default all are zero
for(int i=0; i<X.size(); i++) {
  double min = norm2(X[i], C[0]);
  double index = 0;
  for(int j=1; j<C.size(); j++) {
    if(min>norm2(X[i],C[j])) {
      min = norm2(X[i],C[j]);
      index = j;
    }
  }
  // we found the minimum index, so we increment corresp. weight
  w[index]++;
}

Étape 5:

$w$$k$$k$$p(i) = w(i)/\sum_{j=1}^m{w_j}$

for(int k=0; k<K; k++) {
  // select one centroid from candidates, randomly, 
  // weighted by w
  // see kmeans++ and you first idea (which is wrong for step 3)
  ... 
}  

Toutes les étapes précédentes se poursuivent, comme dans le cas de kmeans ++, avec le flux normal de l'algorithme de clustering

J'espère que c'est plus clair maintenant.

[Plus tard, plus tard modifier]

J'ai également trouvé une présentation faite par des auteurs, où vous ne pouvez pas clairement indiquer qu'à chaque itération, plusieurs points peuvent être sélectionnés. La présentation est ici .

[Édition ultérieure du numéro de @ pera]

$log(\psi)$

$C$$log(\psi)$

Une autre chose à noter est la note suivante sur la même page qui dit:

En pratique, nos résultats expérimentaux dans la section 5 montrent que seuls quelques tours sont suffisants pour parvenir à une bonne solution.

$log(\psi)$