Calculer le quantile de la somme des distributions à partir de quantiles particuliers

Supposons variables aléatoires indépendantes pour lesquelles les quantiles à un niveau spécifique sont connus par estimation à partir des données: , ..., . Définissons maintenant la variable aléatoire comme la somme . Existe-t-il un moyen de calculer la valeur du quantile de la somme au niveau , c'est-à-dire dans ? $N$ $X_1, ..., X_N$ $\alpha$ $\alpha = P(X_1 < q_1)$ $\alpha = P(X_N < q_N)$ $Z$ $Z = \sum_{i=1}^N X_i$ $\alpha$ $q_z$ $\alpha = P(Z < q_Z)$

Je pense que dans des cas particuliers, comme si $X_i$ suit une distribution gaussienne $\forall i$ c'est facile, mais je ne suis pas sûr pour le cas où la distribution de $X_i$ est inconnue. Des idées?

quantiles

— albarji
source

ces

sont-ils

q_{i}

$q_i$ estimés à partir de données ou théoriquement connus?

— chuse

Ce n'est pas possible sans faire des hypothèses spécifiques sur les distributions du . Avez-vous une famille de distributions en tête?

X_{i}

$X_i$

— whuber

@chuse les sont estimés à partir des données, car la distribution des n'est pas connue mais des échantillons sont disponibles. J'ai mis à jour la question avec ce fait.

q_{i}

$q_i$

X_{i}

$X_i$

— albarji

@whuber Je n'ai aucune connaissance préalable de la famille de distributions que le pourrait suivre, bien que des échantillons de données soient disponibles. Est-ce que supposer une famille de distributions (en dehors de la gaussienne) faciliterait cela?

X_{i}

$X_i$

— albarji

$q_Z$ pourrait être n'importe quoi.

Pour comprendre cette situation, faisons une simplification préalable. En travaillant avec nous obtenons une caractérisation plus uniforme $Y_i = X_i - q_i$

α = Pr (X_{i} \leq q_{i}) = Pr (Y_{i} \leq 0) .

$\alpha = \Pr(X_i \le q_i) = \Pr(Y_i \le 0).$

C'est-à-dire que chaque a la même probabilité d'être négatif. Parce que $Y_i$

W = \sum_{i} Y_{i} = \sum_{i} X_{i} - \sum_{i} q_{i} = Z - \sum_{i} q_{i},

$W = \sum_i Y_i = \sum_i X_i - \sum_i q_i = Z - \sum_i q_i,$

l'équation de définition de est équivalente à $q_Z$

α = Pr (Z \leq q_{Z}) = Pr (Z - \sum_{i} q_{i} \leq q_{Z} - \sum_{i} q_{i}) = Pr (W \leq q_{W})

$\alpha = \Pr(Z \le q_Z) = \Pr(Z - \sum_i q_i \le q_Z - \sum_i q_i) = \Pr(W \le q_W)$

avec . $q_Z = q_W + \sum_i q_i$

Quelles sont les valeurs possibles de ? Considérons le cas où les ont tous la même distribution avec toutes les probabilités sur deux valeurs, l'une négative ( ) et l'autre positive ( ). Les valeurs possibles de la somme sont limitées à pour . Chacun d'eux se produit avec probabilité $q_W$ $Y_i$ $y_{-}$ $y_{+}$ $W$ $ky_{-} + (n-k)y_{+}$ $k=0, 1, \ldots, n$

{Pr}_{W} (k y_{-} + (n - k) y_{+}) = (\binom{n}{k}) α^{k} (1 - α)^{n - k} .

${\Pr}_W(ky_{-} + (n-k)y_{+}) = \binom{n}{k}\alpha^k(1-\alpha)^{n-k}.$

Les extrêmes peuvent être trouvés par

Choisir et pour que ; et accomplira cela. Cela garantit que sera négatif sauf lorsque tous les sont positifs. Cette chance est égale à . Il dépasse lorsque , ce qui implique que le quantile de doit être strictement négatif. $y_{-}$ $y_{+}$ $y_{-} + (n-1)y_{+} \lt 0$ $y_{-}=-n$ $y_{+}=1$ $W$ $Y_i$ $1 - (1-\alpha)^n$ $\alpha$ $n\gt 1$ $\alpha$ $W$
Choisir et pour que ; et accomplira cela. Cela garantit que ne sera négatif que lorsque tous les seront négatifs. Cette chance est égale à . Il est inférieur à lorsque , ce qui implique que le quantile de doit être strictement positif. $y_{-}$ $y_{+}$ $(n-1) y_{-} + y_{+} \gt 0$ $y_{-}=-1$ $y_{+}=n$ $W$ $Y_i$ $\alpha^n$ $\alpha$ $n\gt 1$ $\alpha$ $W$

Cela montre que le quantile de peut être négatif ou positif, mais n'est pas nul. Quelle pourrait être sa taille? Il doit être égal à une combinaison linéaire intégrale de et . Faire ces deux valeurs entières garantit que toutes les valeurs possibles de sont intégrales. Lors de la mise à l'échelle de par un nombre positif arbitraire , nous pouvons garantir que toutes les combinaisons linéaires intégrales de et sont des multiples entiers de . Puisque , il doit avoir au moins en taille . Par conséquent, $\alpha$ $W$ $y_{-}$ $y_{+}$ $W$ $y_{\pm}$ $s$ $y_{-}$ $y_{+}$ $s$ $q_W \ne 0$ $s$ les valeurs possibles de (et d'où ) sont illimitées, $q_W$ $q_Z$ peu importe ce que peut égaler. $n\gt 1$

La seule façon de dériver des informations sur serait de faire des contraintes spécifiques et fortes sur les distributions du , afin d'empêcher et de limiter le type de distributions déséquilibrées utilisées pour dériver ce résultat négatif. $q_Z$ $X_i$

— whuber
source

Merci beaucoup @whuber, pour l'explication et l'exemple illustratif. Même si la réponse est négative, je ne peux pas dire que c'était inattendu. Ensuite, j'essaierai de savoir quelle famille de distributions convient à mes données et de voir si avec cela je peux calculer les quantiles de la somme.

— albarji