Si X / Y a la même distribution que Z, est-il vrai que X a la même distribution que YZ?

Soit X, Y et Z trois variables aléatoires indépendantes. Si X / Y a la même distribution que Z, est-il vrai que X a la même distribution que YZ?

probability ratio

— user2808118
source

Considérez le cas où et sont des normales normales et une variable aléatoire de Cauchy standard (les trois étant indépendantes selon la prémisse de la question). Il est bien connu que a une distribution de Cauchy standard (la même que celle de ), mais n'a pas de distribution normale standard (puisque n'existe pas). Vous avez donc besoin de restrictions supplémentaires sur (cf. la réponse de Silverfish) pour avoir tout espoir de trouver des exemples où le résultat pourrait tenir.

X

$X$

Y

$Y$

Z

$Z$

X / Y

$X/Y$

Z

$Z$

Y Z

$YZ$

E [Y Z]

$E[YZ]$

X, Y, Z

$X, Y, Z$

— Dilip Sarwate

@Dilip J'ai envisagé de l'utiliser comme contre-exemple, mais je m'en suis éloigné parce que je ne pouvais pas penser à une brève explication de la raison pour laquelle n'existe pas. Si vous avez un argument intéressant, vous devriez le poster comme réponse, je pense. (Comme vous pouvez probablement le constater, j'ai délibérément évité les zéros et les infinis dans ma réponse, donc j'étais très désireux d'éviter quelque chose qui n'est même pas infini!)

E [Y Z]

$E[YZ]$

— Silverfish

@Dilip Puisque est Cauchy, donc n'existe pas, il me semble que la condition n'est pas remplie et la déclaration ne dit rien sur . A titre de comparaison: si est Cauchy et a la distribution dégénérée , alors il semblerait que existe (et est égal à zéro) même si ne l'est pas.

Z

$Z$

E [Z]

$E[Z]$

E [Y Z]

$E[YZ]$

Z

$Z$

Y

$Y$

P (Y = 0) = 1

$P(Y=0)=1$

E [Y Z]

$E[YZ]$

E [Z]

$E[Z]$

— Silverfish

L'un des contre-exemples possibles les plus simples et peut-être les plus intuitifs est de laisser et n'importe quelle distribution avec une certaine chance de ne pas être dans (depuis sont les points fixes de et et sont problématiques dans la définition de dans tous les cas). Alors n'est évidemment pas constant alors que est.

X = 1

$X=1$

Y

$Y$

{- 1, 0, 1, \pm \infty}

$\{-1,0,1,\pm\infty\}$

\pm 1

$\pm 1$

y \to 1 / y

$y\to 1/y$

0, \infty,

$0,\infty,$

- \infty

$-\infty$

X / Y

$X/Y$

Y Z

$YZ$

X

$X$

— whuber

@Silverfish n'est défini que si est fini. Mais, depuisetsont des variables aléatoires indépendantes. Mais, puisque n'est pas fini et , nous concluons que n'est pas fini (il n'y a aucun problème avec la valeur de ). Par conséquent, n'est pas défini (ou n'existe pas) alors que existe très certainement et a la valeur .

E [Y Z]

$E[YZ]$

E [| Y Z |]

$E[|YZ|]$

E [| Y Z |] = E [| Y | \cdot | Z |] = E [| Y |] E [| Z |]

$E[|YZ|]=E[|Y|\cdot |Z|]=E[|Y|]E[|Z|]$

| Y |

$|Y|$

| Z |

$|Z|$

E [| Z |]

$E[|Z|]$

E [| Y |] > 0

$E[|Y|]>0$

E [| Y Z |]

$E[|YZ|]$

0 \times \infty

$0\times\infty$

E [Y Z]

$E[YZ]$

E [X]

$E[X]$

0

$0$

— Dilip Sarwate

Cela peut arriver. Par exemple, si , et sont des variables Rademacher indépendantes, c'est-à-dire qu'elles peuvent être 1 ou -1 avec une probabilité égale. Dans ce cas est également Rademacher, a donc la même distribution que , tandis que est Rademacher a donc la même distribution que . $X$ $Y$ $Z$ $X/Y$ $Z$ $YZ$ $X$

Mais cela n'arrivera pas en général. Tant que les moyens existent, les conditions nécessaires (mais pas suffisantes) pour que aient la même distribution que , et pour d'avoir la même distribution que , seraient: $X/Y$ $Z$ $YZ$ $X$

E (Z) = E (X Y^{- 1}) = E (X) E (Y^{- 1})

$\mathbb{E}(Z) = \mathbb{E}(XY^{-1}) = \mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y^{-1})$

E (X) = E (Y Z) = E (Y) E (Z)

$\mathbb{E}(X) = \mathbb{E}(YZ) = \mathbb{E}(Y)\mathbb{E}(Z)$

Les deuxièmes égalités suivies de l'indépendance. La substitution donne:

E (Z) = E (Y) E (Z) E (Y^{- 1})

$\mathbb{E}(Z) = \mathbb{E}(Y) \mathbb{E}(Z) \mathbb{E}(Y^{-1})$

Si alors , ou de manière équivalente, tant que , $\mathbb{E}(Z) \neq 0$ $1 = \mathbb{E}(Y) \mathbb{E}(Y^{-1})$ $\mathbb{E}(Y) \neq 0$

E (Y^{- 1}) = \frac{1}{E (Y)}

$\mathbb{E}(Y^{-1}) = \frac{1}{\mathbb{E}(Y)}$

Ce n'est pas vrai en général. Par exemple, soit une variable de Bernouilli traduite qui prend des valeurs ou avec une probabilité égale, donc . Alors prend les valeurs ou avec une probabilité égale, donc . (Je laisse le soin à l'imagination du lecteur, à quel point il aurait dû produire un effet dramatique non traduit $Y$ $1$ $2$ $\mathbb{E}(Y)=1.5$ $Y^{-1}$ $1$ $0.5$ $\mathbb{E}(Y^{-1})=0.75 \neq 1.5^{-1}$ Variable de Bernouilli à la place, ou un traduit seulement légèrement, il est donc très proche de 0 avec une probabilité de moitié. Notez que dans l'exemple Rademacher, il n'y a pas eu de problème ici car les trois attentes étaient nulles, notez en outre que cette condition n'est pas suffisante.)

Nous pouvons explorer comment ce échoue en construisant un contre-exemple plus explicite. Pour simplifier les choses, supposons que est un Bernouilli mis à l'échelle et prend des valeurs ou avec une probabilité égale. Alors est soit , , ou avec une probabilité égale. Il est clair que , et . Soit une variable indépendante tirée de la même distribution. Quelle est la distribution de ? Est-ce la même chose que la distribution de $Y$ $X$ $0$ $2$ $X/Y$ $0/1$ $0/2$ $2/1$ $2/2$ $P(X/Y=0)=\frac{1}{2}$ $P(X/Y=1)=\frac{1}{4}$ $P(X/Y=2)=\frac{1}{4}$ $Z$ $YZ$ $X$ ? Nous n'avons même pas besoin de calculer la distribution de probabilité complète pour voir qu'elle ne peut pas l'être; il suffit de se rappeler que ne peut être que zéro ou deux alors que peut prendre n'importe quelle valeur que vous pouvez obtenir en multipliant l'un de par l'un de . $X$ $YZ$ $\{1,2\}$ $\{0,1,2\}$

Si vous voulez une morale pour ce conte, essayez de jouer avec les variables Bernouilli mises à l'échelle et traduites (qui incluent les variables Rademacher). Ils peuvent être un moyen simple de construire des exemples - et des contre-exemples. Cela permet d'avoir moins de valeurs dans les supports afin que les distributions des différentes fonctions des variables puissent être facilement élaborées à la main.

Encore plus extrême, nous pouvons considérer les variables dégénérées qui n'ont qu'une seule valeur dans leur support. Si et sont dégénérés (avec ) alors sera aussi, et donc la distribution des correspondra à la valeur de . Comme mon exemple Rademacher, c'est une situation montrant que vos conditions peuvent être satisfaites. Si à la place, comme @whuber le suggère dans les commentaires, nous laissons dégénérer avec , mais permettons à de varier, alors construire un contre-exemple encore plus simple est très facile. Si peut prendre deux valeurs finies non nulles - et $X$ $Y$ $Y\neq 0$ $Z=X/Y$ $YZ$ $Z$ $X$ $P(X=1)$ $Y$ $Y$ $a$ $b$ , disons - avec une probabilité positive, alors , et donc , peuvent prendre les valeurs et . Maintenant a donc dans son support, ne peut donc pas suivre la même distribution que . Ceci est similaire, mais plus simple que, à mon argument selon lequel les supports ne pouvaient pas correspondre dans mon contre-exemple d'origine. $X/Y$ $Z$ $a^{-1}$ $b^{-1}$ $YZ$ $ab^{-1} \neq 1$ $X$

— Silverfish
source

$\newcommand\E{\mathbb{E}}$ Supposons que . Ensuite, puisque est une fonction convexe sur , l'inégalité de Jensen nous dit que la condition ne vaut que si est dégénéré. La même chose est vraie si , auquel cas 1 / x est concave. Donc si est de signe fixe mais non dégénéré, la condition nécessaire ne peut pas tenir.

Pr (Y > 0) = 1

$\Pr(Y > 0) = 1$

1 / x

$1/x$

(0, \infty)

$(0, \infty)$

E Y = E \frac{1}{Y}

$\E Y = \E \frac{1}{Y}$

Y

$Y$

Pr (Y < 0) = 1

$\Pr(Y < 0) = 1$

Y

$Y$

— Dougal

@Dougal Merci d'avoir mentionné cela. Lors de la rédaction, j'ai pensé à l'inclure mais j'ai senti que la discussion sur les signes, etc. romprait le flux. J'ai pensé à dire "voir l'inégalité de Jensen" et à ajouter un lien Wikipedia ou similaire, mais j'ai décidé que ce n'était pas une bonne idée parce que je ne l'avais pas préfacé par les conditions de convexité que j'essayais d'éviter. Au lieu de cela, j'ai jeté un coup d'œil pour voir s'il y a un endroit (peut-être un fil de CV) où les attentes des fonctions non linéaires d'un VR sont discutées en général, ce qui conduirait naturellement un lecteur curieux à Jensen, mais je n'ai rien vu J'aime encore.

— Silverfish

@Dougal C'est l'un de ces moments où il y a un peu de conflit entre des contre-exemples magnifiquement simples - quelque chose de très facile à calculer, donc quelqu'un qui a travaillé sous une mauvaise compréhension peut immédiatement voir que c'est impossible ou incorrect - et un traitement général plus approfondi qui aide réellement montrer dans quelles conditions quelque chose peut réellement tenir (mais qui peut être trop difficile à suivre pour certains lecteurs, et donc moins convaincant pour eux). Le RV sur montre même à un débutant pourquoi ne fonctionne pas aussi bien que mais Jensen en dit beaucoup plus sur pourquoi!

{1, 2}

$\{1,2\}$

E (1 / Y)

$E(1/Y)$

E (a Y + b)

$E(aY+b)$

— Silverfish

Oui, bon point, bien que je sois curieux de savoir quand cette relation (apparemment naturelle) peut tenir, qui semble assez limitée. Notez que dans mon commentaire ci-dessus, j'ai mal écrit la condition: elle doit bien sûr être .

\frac{1}{\E Y} = \E \frac{1}{Y}

$\frac{1}{\E Y} = \E \frac{1}{Y}$

— Dougal

@Dougal Je pense qu'au-delà des VR dégénérés, ces relations ne sont pas aussi «naturelles» qu'elles le paraissent au départ. Considérez que a la même distribution que et a la même distribution que , et les trois sont indépendants ... Encore une fois, cela ne tient pas en général.

Z

$Z$

X + Y

$X+Y$

Y

$Y$

Z - X

$Z-X$

— Silverfish