Distribution qui décrit la différence entre les variables distribuées binomiales négatives?

Une distribution de Skellam décrit la différence entre deux variables qui ont des distributions de Poisson. Existe-t-il une distribution similaire qui décrit la différence entre les variables qui suivent des distributions binomiales négatives?

Mes données sont produites par un processus de Poisson, mais incluent une bonne quantité de bruit, conduisant à une surdispersion dans la distribution. Ainsi, la modélisation des données avec une distribution binomiale négative (NB) fonctionne bien. Si je veux modéliser la différence entre deux de ces ensembles de données NB, quelles sont mes options? Si cela peut aider, supposez des moyennes et une variance similaires pour les deux ensembles.

Je ne connais pas le nom de cette distribution mais vous pouvez simplement le dériver de la loi de la probabilité totale. Supposons que ont chacun des distributions binomiales négatives avec les paramètres ( r 1 , p 1 ) et ( r 2 , p 2 ) , respectivement. J'utilise le paramétrage où X , Y représentent le nombre de succès avant les échecs r 1 'e et r 2 ' e, respectivement. Alors,$X, Y$$(r_{1}, p_{1})$$(r_{2}, p_{2})$$X,Y$$r_{1}$$r_{2}$

$$P(X - Y = k) = E_{Y} \Big( P(X-Y = k) \Big) = E_{Y} \Big( P(X = k+Y) \Big) = \sum_{y=0}^{\infty} P(Y=y)P(X = k+y)$$

Nous savons

$$P(X = k + y) = {k+y+r_{1}-1 \choose k+y} (1-p_{1})^{r_{1}} p_{1}^{k+y}$$

et

$$P(Y = y) = {y+r_{2}-1 \choose y} (1-p_{2})^{r_{2}} p_{2}^{y}$$

donc

$$P(X-Y=k) = \sum_{y=0}^{\infty} {y+r_{2}-1 \choose y} (1-p_{2})^{r_{2}} p_{2}^{y} \cdot {k+y+r_{1}-1 \choose k+y} (1-p_{1})^{r_{1}} p_{1}^{k+y}$$

Ce n'est pas joli (ouais!). La seule simplification que je vois tout de suite est

$$p_{1}^{k} (1-p_{1})^{r_{1}} (1-p_{2})^{r_{2}} \sum_{y=0}^{\infty} (p_{1}p_{2})^{y} {y+r_{2}-1 \choose y} {k+y+r_{1}-1 \choose k+y}$$

ce qui est encore assez moche. Je ne sais pas si cela est utile, mais cela peut également être réécrit comme

$$\frac{ p_{1}^{k} (1-p_{1})^{r_{1}} (1-p_{2})^{r_{2}} }{ (r_{1}-1)! (r_{2}-1)! } \sum_{y=0}^{\infty} (p_{1}p_{2})^{y} \frac{ (y+r_{2}-1)! (k+y+r_{1}-1)! }{y! (k+y)! }$$

I'm not sure if there is a simplified expression for this sum but it could be approximated numerically if you only need it to calculate $p$-values

I verified with simulation that the above calculation is correct. Here is a crude R function to calculate this mass function and carry out a few simulations

  f = function(k,r1,r2,p1,p2,UB)  
  {

  S=0
  const = (p1^k) * ((1-p1)^r1) * ((1-p2)^r2)
  const = const/( factorial(r1-1) * factorial(r2-1) ) 

  for(y in 0:UB)
  {
     iy = ((p1*p2)^y) * factorial(y+r2-1)*factorial(k+y+r1-1)
     iy = iy/( factorial(y)*factorial(y+k) )
     S = S + iy
  }

  return(S*const)
  }

 ### Sims
 r1 = 6; r2 = 4; 
 p1 = .7; p2 = .53; 
 X = rnbinom(1e5,r1,p1)
 Y = rnbinom(1e5,r2,p2)
 mean( (X-Y) == 2 ) 
 [1] 0.08508
 f(2,r1,r2,1-p1,1-p2,20)
 [1] 0.08509068
 mean( (X-Y) == 1 ) 
 [1] 0.11581
 f(1,r1,r2,1-p1,1-p2,20)
 [1] 0.1162279
 mean( (X-Y) == 0 ) 
 [1] 0.13888
 f(0,r1,r2,1-p1,1-p2,20)
 [1] 0.1363209

I've found the sum converges very quickly for all of the values I tried, so setting UB higher than 10 or so is not necessary. Note that R's built in rnbinom function parameterizes the negative binomial in terms of the number of failures before the $r$'th success, in which case you'd need to replace all of the $p_{1}, p_{2}$'s in the above formulas with $1-p_{1}, 1-p_{2}$ pour la compatibilité.

Oui. La distribution discrète généralisée asymétrique de Laplace est la différence entre deux variables aléatoires binomiales distribuées négatives. Pour plus de précisions, reportez-vous à l'article disponible en ligne «Distribution Laplace discrète généralisée asymétrique» de seetha Lekshmi.V. et simi sebastian