Qu'est-ce que la matrice de covariance asymptotique?

Est-il vrai que la matrice de covariance asymptotique est égale à la matrice de covariance des estimations de paramètres? Sinon, c'est quoi? Et quelle est la différence entre la matrice de covariance et la matrice de covariance asymptotique dans ce cas? Merci d'avance!

covariance asymptotics

— Leslie
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La matrice de covariance asymptotique est une approximation de la matrice de covariance de la distribution d'échantillonnage des estimations de paramètres qui s'améliore à mesure que le nombre d'échantillons sur lesquels les estimations de paramètres sont basées augmente.

— tchakravarty

Étant donné un échantillon iid d'une distribution paramétrique de densité , étant le paramètre inconnu, un estimateur a une distribution avec la moyenne et la matrice de variance-covariance . Donc est la matrice de variance-covariance de dans le sens où $(X_1,\ldots,X_N)$ $f_\theta(\cdot)$ $\theta$ $\hat{\theta}(X_1,\ldots,X_N)$ $\mu_n(\theta)$ $\Sigma_n(\theta)$ $\Sigma_n(\theta)$ $\hat{\theta}(X_1,\ldots,X_N)$

E_{θ} [{\hat{θ} (X_{1}, \dots, X_{N}) - μ_{n} (θ)} {\hat{θ} (X_{1}, \dots, X_{N}) - μ_{n} (θ)}^{T}] = Σ_{n} (θ) .

$\mathbb{E}_\theta\left[ \left\{\hat{\theta}(X_1,\ldots,X_N)-\mu_n(\theta)\right\} \left\{\hat{\theta}(X_1,\ldots,X_N)-\mu_n(\theta)\right\}^{\text{T}} \right] = \Sigma_n(\theta)\,.$

Maintenant, si est un estimateur convergent et s'il existe une distribution limite pour , cela signifie qu'il existe une séquence augmentant à , par exemple, , de telle sorte que où désigne une distribution indexée par et la distribution limite des lhs Cette distribution limite a une variance qui est appelé la variance asymptotique. $\hat{\theta}(X_1,\ldots,X_N)$ $\hat{\theta}(X_1,\ldots,X_N)$ $(\phi_n)$ $+\infty$ $\phi_n=\sqrt{n}$

ϕ_{n} {\hat{θ} (X_{1}, \dots, X_{N}) - μ_{n} (θ)} \overset{dist}{⟶} G_{θ}

$\phi_n\left\{\hat{\theta}(X_1,\ldots,X_N)-\mu_n(\theta)\right\}\stackrel{\text{dist}}{\longrightarrow} G_\theta$

G_{θ}

$G_\theta$

θ

$\theta$

Ξ_{θ}

$\Xi_\theta$

— Xi'an
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Pourquoi dites-vous "par exemple "? Cela ne devrait-il pas toujours être ?

ϕ_{n} = \sqrt{n}

$\phi_n=\sqrt n$

\sqrt{n}

$\sqrt n$

— user56834

Il existe des estimateurs qui convergent plus rapidement ou plus lentement que comme par exemple celui uniforme .

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

— Xi'an