Comment trouver

Comment puis-je résoudre ça? J'ai besoin d'équations intermédiaires. Peut-être que la réponse est . $-tf(x)$

\frac{d}{d t} [\int_{t}^{\infty} x f (x) d x]

$\frac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)\,dx \right ]$

$f(x)$ est la fonction de densité de probabilité.

C'est-à-dire, et $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = 0$ $\lim\limits_{x \to \infty} F(x) = 1$

source: http://www.actuaries.jp/lib/collection/books/H22/H22A.pdf p.40

Essayer les équations intermédiaires ci-dessous:

\frac{d}{d t} [\int_{t}^{\infty} x f (x) d x] = \frac{d}{d t} [{[x F (x)]}_{t}^{\infty} - \int_{t}^{\infty} F (x) d x] ? ?

$\frac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)\,dx \right ] = \frac{d}{dt} \left [\left [xF(x) \right ]_t^\infty - \int_t^\infty F(x)\,dx \right ]??$

\frac{d}{d t} \int_{t}^{a} f (x) d x = - \frac{d}{d t} \int_{a}^{t} f (x) d x = - \frac{d}{d t} (F (t) - F (a)) = F^{'} (t) = f (t)

$\frac{d}{dt} \int_t^a f(x)\,dx = -\frac{d}{dt} \int_a^t f(x)\,dx = -\frac{d}{dt} (F(t)-F(a))=F'(t)=f(t)$

— Hiroaki Machida
source

Voulez-vous dire ? Peut-êtreOu voulez-vous dire ?

\frac{d}{d t} [\int_{t}^{\infty} x f (x) d x]

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)~dx \right ]$

- t f (t) .

$-tf(t).$

\frac{d}{d t} [\frac{\int_{t}^{\infty} x f (x) d x}{1 - F (t)}]

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\dfrac{\int_t^\infty xf(x)~dx}{1-F(t)} \right ]$

— Henry

Utilisez le théorème fondamental du calcul

— Henry

Considérons un primitif de , puis est facile à dériver.

G

$G$

x \mapsto x f (x)

$x \mapsto xf(x)$

\int_{t}^{\infty} x f (x) d x = G (\infty) - G (t)

$\int_t^\infty xf(x)dx=G(\infty)-G(t)$

— Stéphane Laurent

Veuillez ajouter la self-studybalise et lire son wiki de balises .

— Glen_b -Reinstate Monica

Si vous étudiez pour un examen, vous donner la solution complète n'est pas la chose à faire. Les questions d'autoformation visent à amener la personne qui pose la question à réussir à résoudre le problème par ses propres moyens.

— Xi'an

Réponses:

Par définition, la dérivée ( si elle existe ) est la limite du quotient de différence

\frac{1}{h} (\int_{t + h}^{\infty} x f (x) d x - \int_{t}^{\infty} x f (x) d x) = - \frac{1}{h} \int_{t}^{t + h} x f (x) d x

$\frac{1}{h}\left(\int_{t+h}^\infty x f(x) dx - \int_t^\infty x f(x) dx\right) = -\frac{1}{h}\int_t^{t+h} x f(x) dx$

comme . $h\to 0$

En supposant que est continu dans un intervalle pour suffisamment petit , sera également continu tout au long de cet intervalle. Alors le théorème de la valeur moyenne affirme qu'il y a un entre et pour lequel $f$ $[t, t+h)$ $h\gt 0$ $x f$ $h^{*}$ $0$ $h$

- (t + h^{*}) f (t + h^{*}) = - \frac{1}{h} \int_{t}^{t + h} x f (x) d x .

$-(t+h^{*})f(t+h^{*}) = -\frac{1}{h}\int_t^{t+h} x f(x) dx.$

Comme , nécessairement , et la continuité de près de implique alors que le côté gauche a une limite égale à . $h\to 0$ $h^{*}\to 0$ $f$ $t$ $-t f(t)$

(Il est agréable de voir que cette analyse ne nécessite aucun raisonnement sur l'existence de l' intégrale incorrecte originale .) $\int_t^\infty x f(x) dx$

Cependant, même lorsqu'une distribution a une densité , cette densité n'a pas à être continue. Aux points de discontinuité, le quotient de différence aura des limites gauche et droite différentes: la dérivée n'y existe pas. $f$

Ce n'est pas une question qui peut être rejetée comme étant une "pathologie" mathématique mystérieuse que les praticiens peuvent ignorer. Les PDF de nombreuses distributions courantes et utiles ont des points de discontinuité. Par exemple, la distribution uniforme a un PDF discontinu en et ; une distribution Gamma a un PDF discontinu à quand (qui inclut la distribution exponentielle omniprésente et certaines des distributions ); etc. Par conséquent, il est important de ne pas affirmer, sans réserve, que la réponse est simplement : ce serait une erreur. $(a,b)$ $a$ $b$ $(a,b)$ $0$ $a\le 1$ $\chi^2$ $-t f(t)$

— whuber
source

Un très petit addendum: il y a des cas où l'intégrale est différenciable même lorsque n'est pas continue. Soit pour et pour et pour . Alors près de 0, pour et 0 pour , ce qui est parfaitement différenciable à .

f (x)

$f(x)$

f (x) = 0

$f(x)=0$

x \leq 0

$x\leq 0$

f (x) = 1

$f(x)=1$

0 < x < 1

$0<x<1$

f (x) = 0

$f(x)=0$

x \geq 2

$x\geq 2$

F (x) = x^{2} / 2

$F(x)=x^2/2$

x \geq 0

$x\geq 0$

x < 0

$x<0$

x = 0

$x=0$

— Alex R.

@Alex Near , , pas 2/2 . Considérons le théorème fondamental du calcul.

0^{+}

$0^{+}$

F (x) = x

$F(x)=x$

x^{2} / 2

$x^2/2$

— whuber

Désolé pour la confusion! Je définis .

F (x) := \int_{- \infty}^{x} t f (t) d t

$F(x) := \int_{-\infty}^x tf(t)dt$

— Alex R.

@Alex Votre integrand est continu près de zéro, donc je ne vois pas quel genre d'exemple vous présentez ou ce qu'il montre.

t f (t)

$tf(t)$

— whuber

Grande dérivation (+1) - cela pourrait ne valoir rien que ce résultat soit un cas de règle intégrale de Leibniz .

— Ben - Réintègre Monica le

Résolu ...

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)~dx \right ]$ $= \displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [G(\infty)-G(t) \right ]$ $= \displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [G(\infty) \right ] - \dfrac{d}{dt} \left [G(t) \right ]$ $= \displaystyle 0-tf(t)$

Merci à tous!!!

— Hiroaki Machida
source

Qu'est-ce que la fonction ? Pourquoi la dérivée de est 0?

G (t)

$G(t)$

G (\infty)

$G(\infty)$

— Vladislavs Dovgalecs