Dérivation intéressante de R au carré

Il y a des années, j'ai trouvé cette identité par l'expérimentation en jouant avec les données et les transformations. Après l'avoir expliqué à mon professeur de statistique, il est venu dans la classe suivante avec une épreuve d'une page utilisant la notation vectorielle et matricielle. Malheureusement, j'ai perdu le papier qu'il m'a donné. (C'était en 2007)

Quelqu'un peut-il reconstruire une preuve?

Soit vos points de données d'origine. Définissez un nouvel ensemble de points de données en faisant pivoter l'ensemble d'origine par angle ; appelons ces points . $(x_i,y_i)$ $\theta$ $(x'_i,y'_i)$

La valeur R au carré de l'ensemble de points d'origine est égale au produit négatif de la dérivée par rapport à du logarithme naturel de l'écart-type pour chaque coordonnée du nouvel ensemble de points, chacun évalué à $\theta$ $\theta=0$

$r^2= - \left(\left.\frac{d}{d\theta}\ln(\sigma_{x'})\right|_{\theta=0} \right) \left(\left.\frac{d}{d\theta}\ln(\sigma_{y'})\right|_{\theta=0} \right)$

regression r-squared

— sheppa28
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La dérivation n'est pas un exercice particulièrement intéressant de manipulation symbolique. Depuis, et

\begin{aligned} {\frac{d x^{'}}{d θ} |}_{θ = 0} & = - y, \\ {\frac{d y^{'}}{d θ} |}_{θ = 0} & = x, \end{aligned}

$\begin{align} \left.\frac{dx'}{d\theta}\right|_{\theta=0}&=-y,\\ \left.\frac{dy'}{d\theta}\right|_{\theta=0}&=x, \end{align}$

s_{x}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}

$s_x^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$

{\frac{d s_{x^{'}}^{2}}{d θ} |}_{θ = 0} = - 2 s_{x y}

$\left.\frac{ds_{x'}^2}{d\theta}\right|_{\theta=0}=-2s_{xy}$

{\frac{d s_{y^{'}}^{2}}{d θ} |}_{θ = 0} = 2 s_{x y}

$\left.\frac{ds_{y'}^2}{d\theta}\right|_{\theta=0}=2s_{xy}$

{\frac{d}{d θ} \ln (s_{x^{'}}) |}_{θ = 0} = - \frac{s_{x y}}{s_{x}^{2}}, {\frac{d}{d θ} \ln (s_{y^{'}}) |}_{θ = 0} = \frac{s_{x y}}{s_{y}^{2}}

$\left.\frac{d}{d\theta}\ln(s_{x'})\right|_{\theta=0} = -\frac{s_{xy}}{s_x^2},\quad \left.\frac{d}{d\theta}\ln(s_{y'})\right|_{\theta=0} = \frac{s_{xy}}{s_y^2}$ et le résultat suit .

Je suis curieux de savoir comment vous avez trouvé une telle équation, en particulier quelle expérience particulière a révélé une telle identité.

— Khashaa
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Merci! C'est en fait beaucoup plus simple que sa preuve dont je me souviens. L'identité est née en jouant avec les données des années auparavant; pour les coups de pied, je fais juste des rotations, des écarts-types, des dérivés, des logarithmes, des additions, des multiplications, etc. Parfois, ils se croisaient, mais à des angles «étranges»; parfois jamais croisé. Ensuite, ils se sont croisés à thêta = zéro. Je pensais que c'était intéressant. Il l'a testé avec d'autres données aléatoires et il a toujours tenu. Je n'ai pas vu comment cela fonctionnait, mais j'ai pensé à une identité soignée.

— sheppa28