Un processus stochastique est un processus qui évolue avec le temps, est-ce donc vraiment une façon plus sophistiquée de dire «séries chronologiques»?

Parce que de nombreuses divergences troublantes apparaissent dans les commentaires et les réponses, référons-nous à certaines autorités.

James Hamilton ne définit même pas une série chronologique, mais il est clair sur ce que c'est:

... cet ensemble de nombres n'est qu'un résultat possible du processus stochastique sous-jacent qui a généré les données. En effet, même si nous devions imaginer avoir observé le processus pendant une période de temps infinie, arriver à la séquence { y t } ∞ t = ∞ = { … , y - 1 , y 0 , y 1 , y 2 , … , y T , y T + 1 , y T + 2 , $T$ la séquence infinie { y t } ∞ t = ∞ serait toujours considérée comme une réalisation unique à partir d'un processus de séries chronologiques. ...

$$\{y_t\}_{t=\infty}^\infty = \{\ldots, y_{-1}, y_0, y_1, y_2, \ldots, y_T, y_{T+1}, y_{T+2}, \ldots, \},$$ $\{y_t\}_{t=\infty}^\infty$

Imaginez une batterie de ... ordinateurs générant des séquences { y ( 1 ) t } ∞ t = - ∞ , { y ( 2 ) t } ∞ t = - ∞ , … , { y ( I ) t } ∞ t = - ∞ , et envisagez de sélectionner l'observation associée à la date t dans chaque séquence: { y ( 1 $I$$\{y_t^{(1)}\}_{t=-\infty}^{\infty},$ $\{y_t^{(2)}\}_{t=-\infty}^{\infty}, \ldots,$ $\{y_t^{(I)}\}_{t=-\infty}^{\infty}$$t$ Ceci serait décrit comme un échantillon deIréalisations de la variable aléatoireYt. ...

$$\{y_t^{(1)}, y_t^{(2)}, \ldots, y_t^{(I)}\}.$$ $I$$Y_t$

( Analyse des séries chronologiques , chapitre 3.)

Ainsi, un "processus de séries chronologiques" est un ensemble de variables aléatoires indexées par des entiers t .$\{Y_t\}$$t$

Dans les équations différentielles stochastiques, Bernt Øksendal fournit une définition mathématique standard d'un processus stochastique général:

$$\{X_t\}_{t\in T}$$ $(\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P})$ $\mathbb{R}^n$

$T$$[0,\infty)$$[a,b]$$\mathbb{R}^n$$n\ge 1$

En réunissant les deux, nous voyons qu'un processus de séries chronologiques est un processus stochastique indexé par des nombres entiers.

Certaines personnes utilisent des «séries chronologiques» pour faire référence à la réalisation d'un processus de séries chronologiques (comme dans l'article Wikipedia ). Nous pouvons voir dans le langage de Hamilton un effort raisonnable pour distinguer le processus de la réalisation par son utilisation de «processus de séries chronologiques», afin qu'il puisse utiliser des «séries temporelles» pour se référer à des réalisations (ou même à des données).

$\left\{X_t\right\}$

Définir un processus stochastique

$(\Omega, \mathcal{F}, P)$$S$$\mathbb{R}$

• $\Omega$$S$
• $t$
  • $t \in \mathcal{T}$$X_t$
  • $\omega \in \Omega$$X(\omega)$$X$

Définition d'une série chronologique

Alors qu'un processus stochastique a une définition mathématique claire comme du cristal. Une série chronologique est une notion moins précise, et les gens utilisent des séries chronologiques pour se référer à deux objets liés mais différents:

1. Comme le décrit WHuber, un processus stochastique indexé par des nombres entiers ou une unité de temps incrémentielle régulière qui peut dans un sens être mappé à des nombres entiers (par exemple, des données mensuelles).
2. Une collecte de données observée à intervalles réguliers. Cela pourrait être la réalisation d'un processus stochastique indexé par des entiers. Parfois, on parle de données de séries chronologiques.

Exemple: deux flips d'un tack

$\Omega = \{ \omega_{HH}, \omega_{HT}, \omega_{TH}, \omega_{TT}\}$$X_1, X_2$

$\{X_1, X_2\}$$X$$X(\omega_{HH}) = (H, H)$

La différence entre un processus stochastique et une série chronologique ressemble un peu à la différence entre un chat sur un clavier et une réponse sur Stack Exchange: les chats sur les claviers peuvent produire des réponses, mais les chats sur les claviers ne sont pas des réponses. De plus, toutes les réponses ne sont pas produites par un chat sur un clavier.

Une série chronologique peut être comprise comme un ensemble de paires temps-valeur-données-points. En revanche, un processus stochastique est un modèle mathématique ou une description mathématique d'une distribution de séries chronologiques¹. Certaines séries temporelles sont une réalisation de processus stochastiques (de l'une ou l'autre sorte). Ou, d'un autre point de vue: je peux utiliser un processus stochastique comme modèle pour générer une série chronologique.

De plus, les séries chronologiques peuvent également être générées de différentes manières:

• Ils peuvent être le résultat d'observations et sont donc générés par la réalité. Bien que je puisse modéliser la réalité comme un processus stochastique (je pourrais également dire que je considère la réalité comme un processus stochastique), la réalité n'est pas un processus stochastique de la même manière que l'intérieur d'une boîte n'est pas un ensemble de points (bien que nous les deux équivalents dans les contextes de modélisation).

• $x=2$

^{¹ S'il s'agit d'un processus stochastique à temps discret. Les processus stochastiques en temps continu sont des distributions de fonctions plutôt que des séries chronologiques.}

J'apprécie toutes les discussions / commentaires apportés sur le sujet de la série chronologique vs le processus stochastique. Voici ma compréhension de la différence: Les séries chronologiques sont un phénomène observé, enregistré comme une série de nombres indexés avec le temps à l'observation; il s'agit très probablement d'une série d'observations d'un phénomène réel tel que le cours des actions à la Bourse de New York. D'un autre côté, le processus stochastique est toujours compris comme une représentation mathématique (et non une production) des séries chronologiques.