Formule de régression linéaire simple pondérée

Cette page wiki Régression linéaire simple contient des formules pour calculer et . Quelqu'un pourrait-il me dire comment dériver les formules en cas pondéré?$\alpha$$\beta$

Considérez les moindres carrés ordinaires (OLS) comme une «boîte noire» pour minimiser

$$\sum_{i=1}^n (y_i - (\alpha 1 + \beta x_i))^2$$

pour une table de données dont la ligne est le tuple .$i^\text{th}$$(1, x_i, y_i)$

Lorsqu'il y a des poids, nécessairement positifs, on peut les écrire comme . Par définition, les moindres carrés pondérés minimisent$w_i^2$

$$\sum_{i=1}^n w_i^2(y_i - (\alpha 1 + \beta x_i))^2$$

$$=\sum_{i=1}^n (w_i y_i - (\alpha w_i + \beta w_i x_i))^2 .$$

Mais c'est exactement ce que la boîte noire OLS minimise lorsqu'on lui donne le tableau de données composé des tuples "pondérés" . Ainsi, l' application des formules OLS à ces tuples pondérés donne les formules que vous recherchez.$(w_i, w_i x_i, w_i y_i)$