Distribution de probabilité pour une onde sinusoïdale bruyante

Je cherche à calculer analytiquement une distribution de probabilité des points d'échantillonnage à partir d'une fonction oscillante lorsqu'il y a une erreur de mesure. J'ai déjà calculé la distribution de probabilité pour la partie "sans bruit" (je mettrai cela à la fin), mais je ne sais pas comment inclure le "bruit".

Estimation numérique

Pour être plus clair, imaginez qu'il existe une fonction laquelle vous choisissez des points au hasard pendant un seul cycle; si vous regroupez les points dans un histogramme, vous obtiendrez quelque chose lié à la distribution.$y(x) = \sin(x)$

Sans bruit

Par exemple, voici le et l'histogramme correspondant$sin(x)$

Avec du bruit

Maintenant, s'il y a une erreur de mesure, cela changera la forme de l'histogramme (et donc je pense que la distribution sous-jacente). Par exemple

Calcul analytique

J'espère donc que je vous ai convaincu qu'il y a une différence entre les deux, maintenant je vais écrire comment j'ai calculé le cas "sans bruit":

Sans bruit

$$y(x) = \sin(x)$$

Ensuite, si les moments auxquels nous échantillonnons sont uniformément distribués, alors la distribution de probabilité pour doit satisfaire:$y$

$$P(y) dy = \frac{dx}{2\pi}$$

puis depuis

$$\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}\left(\arcsin(y)\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}}$$

et donc

$$P(y) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1 - y^{2}}}$$

qui, avec une normalisation appropriée, correspond à l'histogramme généré dans le cas "sans bruit".

Avec du bruit

$y(x)$

Cela dépend de la structure du processus de bruit.

$Y$

$X_i$$x$$Y_i|X_i=x_i$$\sin(x_i)$$Y$$g$

$\epsilon_i\sim N(0,\sigma^2)$$f(\epsilon)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp({\frac{\epsilon^2}{2\sigma^2}})$$f*g$

$f_{Y+\epsilon}(z) = (f*g)(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{Y}(y)f_{\epsilon}(z-y)dy=\int_{-\infty}^{\infty} f_{Y}(z-w)f_{\epsilon}(w)dw$

(cette convolution a été effectuée numériquement; je ne sais pas dans quelle mesure cette intégrale est traitable dans cet exemple, car je ne l'ai pas essayée.)

Je pense que l'expression dérivée de P (x) est décalée d'un facteur deux. Le temps d'échantillonnage uniformément distribué équivaut à une distribution uniforme de la phase sur l'intervalle -pi, pi. La fonction trigonométrique distribue la probabilité sur l'intervalle y {-1,1}. L'intégration de P (y) sur cet intervalle doit = ​​1, et non 2 comme obtenu en utilisant votre intégrande ci-dessus. Je pense que P (y) = 1 / (pi Sqrt (1-y ^ 2))