Fonction de transfert dans les modèles de prévision

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Je suis occupé par la modélisation ARIMA augmentée de variables exogènes à des fins de modélisation promotionnelle et j'ai du mal à l'expliquer aux utilisateurs professionnels. Dans certains cas, les progiciels se retrouvent avec une simple fonction de transfert, c'est-à-dire le paramètre * Variable exogène. Dans ce cas, l'interprétation est facile, c'est-à-dire que l'activité promotionnelle X (représentée par la variable binaire exogène) influe sur la variable dépendante (par exemple la demande) de Y montant. Donc, en termes commerciaux, nous pourrions dire que l'activité promotionnelle X entraîne une augmentation de la demande de Y unités.

Parfois, la fonction de transfert est plus compliquée, par exemple la division des polynômes * Variable exogène. Ce que je pourrais faire, c'est faire la division des polynômes de manière à trouver tous les coefficients de régression dynamique et dire que par exemple l'activité promotionnelle influence non seulement la demande pendant la période où elle a lieu mais aussi dans les périodes futures. Mais comme les progiciels de sortie fonctionnent comme une division des polynômes, les utilisateurs professionnels ne peuvent pas faire une interprétation intuitive. Y a-t-il quelque chose que nous pourrions dire à propos d'une fonction de transfert compliquée sans faire de division?

Les paramètres d'un modèle pertinent et la fonction de transfert associée sont présentés ci-dessous:

Constante = 4200, AR (1), Coefficient d'activité promotionnelle 30, Num1 = -15, Num2 = 1,62, Den1 = 0,25

Je suppose donc que si nous faisons une activité promotionnelle cette période, le niveau de la demande augmentera de 30 unités. De plus, puisqu'il existe une fonction de transfert (division de polynômes), l'activité promotionnelle aura un impact non seulement sur la période actuelle mais également sur les périodes suivantes. la question est de savoir comment déterminer combien de périodes dans le futur seront affectées par la promotion et quel sera leur impact par période en unités de demande.

— Andreas Zaras
source

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C'est une très bonne question, peu de logiciels / manuels ont abordé ce problème mais sont absolument nécessaires dans les prévisions commerciales du monde réel. Je sais que R et SAS ont la capacité de le faire. Il y a des spécialistes sur ce site qui pourraient y répondre, je vais essayer de mettre quelque chose si je trouve le temps.

— prévisionniste

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Cette réponse est basée sur la notation de Makridakis et. al manuel sur les prévisions. Je suppose qu'il est similaire dans tous les manuels standard sur la modélisation des fonctions de transfert. Je voudrais également consulter l'excellent texte d' Alan Pankratz sur la modélisation de la fonction de transfert, car la réponse suivante est motivée par d'excellents graphiques dans ces deux livres. J'utilise une notation appelée dans l'équation de la fonction de transfert dont vous avez besoin pour comprendre cela dans les manuels de référence pour que vous puissiez comprendre le matériel ci-dessous. Je les ai résumés ci-dessous: $r,s,b$

$r$ est le nombre de termes dénominateurs. (quel est le modèle de décroissance - rapide ou lent?)
$s$ est le nombre de termes numérateur. (quand l'effet se produit-il?)
$b$ est le délai de prise d'effet.

Une fonction de transfert générale prend la forme:

Y_{t} = μ + \frac{(ω_{0} - ω_{1} B^{1} - . . . . . - ω_{s} B^{s})}{1 - δ_{1} B^{1} - . . . δ_{r} B^{r}} X_{t - b} + e_{t}

$Y_t = \mu + \frac{(\omega_0-\omega_1B^1- .....-\omega_sB^s)} {1-\delta_1B^1 - ...\delta_r B^r} X_{t-b}+e_t$

Il peut être utile de mettre vos coefficients dans un format d'équation comme indiqué ci-dessous. Considérez également comme Ventes et comme promotion / publicité au temps pour une compréhension facile. $Y_t$ $X_t$ $t$

Dans votre cas, = 1, = 2 et = 0 $r$ $s$ $b$

Y_{t} = μ + \frac{(ω_{0} - ω_{1} B^{1} - ω_{2} B^{2})}{1 - δ B} X_{t} + e_{t}

$Y_t = \mu + \frac{(\omega_0-\omega_1B^1-\omega_2B^2)} {1-\delta B} X_t+e_t$ où est un processus . est la constante / niveau et est les coefficients du numérateur et est le coefficient du dénominateur.

e_{t}

$e_t$

A R (1)

$AR(1)$

μ

$\mu$

ω

$\omega$

δ

$\delta$

L'application de vos coefficients à l'équation ci-dessus se traduit par:

Y_{t} = 4200 + \frac{(30 + 15 B^{1} - 1.62 B^{2})}{1 - 0.25 B} X_{t} + e_{t}

$Y_t = 4200 + \frac{(30 + 15B^1- 1.62 B^2)} {1-0.25B} X_t+e_t$

Le numérateur désigne la partie moyenne mobile (moyenne mobile) et le dénominateur désigne la partie auto-régressive de la fonction de transfert. Pensez au numérateur comme au début de l'effet et le dénominateur contrôlera la décroissance du facteur numérateur. L'informatique pourrait en outre aider à décomposer uniquement la fonction de transfert dans un format additif en utilisant l'algèbre de base pour illustrer les effets.

\frac{30}{1 - 0.25 B} X_{t} + \frac{15 B^{1}}{1 - 0.25 B} X_{t} - \frac{1.62 B^{2}}{1 - 0.25 B} X_{t}

$\frac{30} {1-0.25B}X_t + \frac{15B^1} {1-0.25B}X_t - \frac{1.62B^2} {1-0.25B}X_t$

J'ai utilisé SAS pour faire la plupart de mes calculs ( voir ce site Web ). Maintenant, effectuer un calcul récursif sur la première partie de l'équation comme indiqué dans le site Web se traduit par la figure suivante. Ce que cela vous dit, c'est que la publicité au temps provoque 30 unités incrémentielles dans Sales toutes choses égales par ailleurs. Cette publicité a également un effet dans les périodes suivantes, par exemple à l'effet est de 7,5 unités incrémentielles, et ainsi de suite causé par le coefficient du dénominateur . $t = 0$ $t = 1$ $\delta = 0.25$

entrez la description de l'image ici

La deuxième partie et la troisième partie de la fonction de transfert, en appliquant le calcul récursif se traduit par le graphique suivant. Pour la deuxième partie, notez que les ventes à équivalent à 15 unités de ventes en retard 2 et décroissent davantage. Pour la troisième partie du numérateur, les ventes diminuent de -1,62 unités au décalage 3 et se dégradent davantage. $t=0$

entrez la description de l'image ici

La combinaison additive des 3 parties de la fonction de transfert en utilisant l'algèbre de base se traduit par la forme finale comme indiqué ci-dessous:

entrez la description de l'image ici

Ce que cela vous dit, c'est que la publicité à provoque 30 unités de ventes à et 22,5 unités de ventes à et diminue rapidement à 4 unités de ventes à et ainsi de suite .... $t=0$ $t=0$ $t=1$ $t=2$

Voyons ce qui se passe si vous changez le coefficient du dénominateur de 0,25 à 0,70 et en gardant le numérateur à 30. Par ailleurs, l'équation suivante est une forme simple de fonction de transfert qui fonctionne très bien dans la pratique est également appelée modèle de décalage distribué infini ou décalage de Koyck modèle .

\frac{ω_{0}}{1 - δ B} X_{t} => \frac{30}{1 - 0.70 B} X_{t}

$\frac{\omega_0} {1-\delta B}X_t => \frac{30} {1-0.70B}X_t$

Cela serait représenté comme la figure suivante, comme vous pouvez le voir, la décroissance est très lente en raison du facteur de décroissance augmenté de 0,25 à 0,70.

entrez la description de l'image ici

J'espère que cela vous sera utile. Je l' ai appris à travers l' expérience que la visualisation est la seule façon que vous pouvez expliquer la fonction de transfert à un public non technique , y compris la suggestion pratique Me.Composé, je recommande la réalisation d' expériences sur les données en raison du fait que cela pourrait être seulement des illusions comme l'a noté Armstrong. Si possible, je ferais une expérimentation de votre variable «causale» pour établir la «cause et effet». De plus, je ne sais pas pourquoi votre numérateur 3 est -1,62, il pourrait être simplement faux.

Veuillez fournir un feed-back si vous trouvez cet article utile car il a fallu un certain effort pour répondre à cette réponse.J'ai appris la visualisation de la fonction de transfert sur ce site Web grâce à @ javlacalle .

— prévisionniste
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Bonjour. Merci beaucoup pour votre réponse. C'est très détaillé et ça aide beaucoup. Je suppose que nous ne pouvons pas éviter la division polynomiale pour expliquer en détail le transfert de l'effet des variabes indépendants aux dépendants. D'après ce que j'ai vu, les progiciels rapportent les polynômes du numérateur et du dénominateur et non le résultat de leur division. Enfin, comment avez-vous conclu aux valeurs du premier graphique, par exemple (30, 7,5, 1,9 0,5, etc.)?

— Andreas Zaras,

Heureux de voir que la réponse était utile, pour effectuer des calculs, j'ai utilisé SAS. Il existe une fonction appelée ratio dans proc iml que j'ai utilisée pour calculer les sorties pour la fonction de transfert.

— prévisionniste

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Une manière absolument incroyable de présenter la signification réelle de la fonction de transfert.

— RachelSunny

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Dans de nombreuses circonstances que j'ai consultées, il y a souvent une activité exceptionnelle avant la promotion reflétant des effets de plomb. La détection automatique / routinière de ce phénomène est essentielle à un bon développement de modèle. De plus, les impulsions, les changements de niveau et les tendances temporelles locales doivent être pris en compte, sinon ils contrarient / déforment l'analyse. Nous avons également constaté que bien que des différences puissent être nécessaires pour identifier la fonction de transfert, elles ne font pas nécessairement partie du modèle final. Ce point et d'autres n'ont pas été abordés dans les travaux fondateurs de Box et Jenkins, mais sont désormais traités de manière routinière. Si vous vouliez publier vos données, moi et d'autres pourrions peut-être aider à élucider cela tout en étudiant les transformations nécessaires telles que les transformations de puissance ou les moindres carrés pondérés. J'ai utilisé un logiciel qui reformule la fonction de transfert comme un modèle de régression ordinaire (décalage distribué polynomial / décalage distribué auto-régressif). Ceci est très utile pour expliquer le modèle aux clients / clients et également utile pour l'utilisation ultérieure de l'équation.

— IrishStat
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pourriez-vous élaborer sur "reformule la fonction de transfert comme une régression ordinaire" s'il vous plaît - comment faire cela et / ou le logiciel?

— denis

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Merci, mais d'autres pourraient aussi bénéficier de votre explication; Je vais poser une nouvelle question si je peux.

— denis

@denis J'ai programmé AUTOBOX pour reformuler la fonction de transfert en PDL ou ADL. Le fichier s'appelle RHSIDE.TXT

— IrishStat

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En termes d'exprimer le modèle TF comme purement à droite

LES MODÈLES SONT PRÉSENTÉS:
1. MODÈLE PUR EN TERMES D'ENTRÉES
Y = K1 + [W (B) / D (B)] * X + [THETA (B) / PHI (B)] * A
2. COMME UN MODÈLE MIXTE COMPRENANT DES LAGS DE Y
D (B) * PHI (B) * Y = K2
= + PHI (B) * W (B) * X
= + D (B) * THETA (B) * A
= + PHI (B) * W ( B) * X = + D (B) * THETA (B) * A

    WHERE K2 = K1*[D(B)*PHI(B)]                                             
     OR   K1 = K2*/[D(B)*PHI(B)]

L'ESTIMATION EST EFFECTUÉE COMME UN (2)
TANT QUE LE TABLEAU LA PRÉSENTE COMME UN (1).
DANS LE TABLEAU, LA CONSTANTE EST K2 TANDIS
QUE PRÉSENTÉE SOUS FORME (1) LA CONSTANTE EST K1
NOUS LA PRÉSENTONS ICI SOUS FORME (2).

MODÈLE EXPRIMÉ COMME UN XARMAX
Y [t] = a 1 Y [t-1] + ... + a [p] Y [tp]
+ w [0] X [t-0] + ... + w [r ] X [tr]
+ b 1 a [t-1] + ... + b [q] a [tq]
+ constante

Le modèle construit automatiquement pour les données de vente du texte Bpx-Jenkins était

entrez la description de l'image ici . L'exprimer comme un «modèle de régression» nous obtenons

— IrishStat
source

Cela ne ressemble à rien de plus qu'une décharge de sortie d'ordinateur. Pourriez-vous être plus explicite sur la façon dont elle répond à la question "comment pouvons-nous trouver combien de périodes à l'avenir seront affectées par la promotion et quel sera leur impact par période en unités de demande?" Où se trouvent toutes ces réponses et quelles techniques recommandez-vous?

— whuber

@whuber Je répondais poliment à la demande du PO que je sois plus précis. Je ne peux pas être plus réactif ou spécifique sans lui donner un code propriétaire réel. "pourriez-vous élaborer sur" réaffirme la fonction de transfert comme une régression ordinaire "s'il vous plaît - comment faire cela et / ou logiciel? - denis hier" En termes de sa question .... en général, il faut faire des opérations polynomiales, y compris la division exprimer un TF en PDL / ADL Le côté droit donne des coefficients pour répondre à la question que vous avez spécifiée ici.

— IrishStat

Parce que ce site se concentre sur les méthodes et les principes plutôt que sur les logiciels, une démonstration uniquement logicielle de "comment faire" au mieux a une valeur marginale. Une description utilisant la notation anglaise et mathématique sera beaucoup plus généralement accessible et appréciée par vos lecteurs. En ce qui concerne la mécanique, il est préférable de modifier votre réponse précédente, par rapport à la publication d'une nouvelle qui est destinée à être une continuation ou une amplification de cette réponse. La déconnexion entre les deux postes est source de confusion et rend celui-ci encore moins compréhensible lors de sa première rencontre.

— whuber

@whuver J'ai pensé qu'une réponse séparée était appropriée car le PO envisageait de publier une question distincte.

— IrishStat

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