Estimateur du maximum de vraisemblance pour un minimum de distributions exponentielles

Je suis coincé sur la façon de résoudre ce problème.

Donc, nous avons deux séquences de variables aléatoires, et pour . Maintenant, et sont des distributions exponentielles indépendantes avec les paramètres et . Cependant, au lieu d'observer et , on observe à la place et . $X_i$ $Y_i$ $i=1,...,n$ $X$ $Y$ $\lambda$ $\mu$ $X$ $Y$ $Z$ $W$

et si et 0 si . Je dois trouver-formes fermées pour les estimateurs de maximum de vraisemblance de et sur la base de et . De plus, nous devons montrer qu'il s'agit de maxima mondiaux. $Z=\min(X_i,Y_i)$ $W=1$ $Z_i=X_i$ $Z_i=Y_i$ $\lambda$ $\mu$ $Z$ $W$

Maintenant, je sais que le minimum de deux exponentielles indépendantes est lui-même exponentiel, avec le taux égal à la somme des taux, donc nous savons que est exponentiel avec le paramètre . Ainsi , notre estimateur de vraisemblance maximale . $Z$ $\lambda+\mu$ $\hat{\lambda}+\hat{\mu}=\bar{Z}$

Mais je suis coincé avec où aller d'ici. Je sais que est une distribution de Bernoulli avec le paramètre , mais je ne sais pas comment procéder pour convertir cela en une déclaration sur l'un des paramètres. Par exemple, qu'est-ce que le MLE en termes de et / ou ? Je comprends que si , alors , mais j'ai du mal à trouver comment trouver une déclaration algébrique ici. $W$ $p=P(Z_i=X_i)$ $\bar{W}$ $\lambda$ $\mu$ $Z_i=X_i$ $\mu=0$

Mise à jour 1: J'ai dit dans les commentaires pour calculer la probabilité pour la distribution conjointe de et . $Z$ $W$

Donc où . Correct? Je ne sais pas comment dériver autrement une distribution conjointe dans ce cas, puisque et ne sont pas indépendants. $f(Z,W)=f(Z|W=1)\cdot p+f(Z|W=0)\cdot (1-p)$ $p=P(Z_i=X_i)$ $Z$ $W$

Cela nous donne donc, , par la définition de ci-dessus. Mais maintenant quoi? Cela ne me mène nulle part. Si je passe par les étapes de calcul de la probabilité, j'obtiens: (en utilisant et comme tailles d'échantillon pour chaque partie du mélange ...) $f(Z_i,W_i)=p\lambda e^{-\lambda z_i}+(1-p)\mu e^{-\mu z_i}$ $W$ $m$ $n$

$L(\lambda,\mu)=p^m\lambda^m e^{-\lambda \sum{z_i}}+(1-p)^n\mu^n e^{-\mu \sum{z_i}}$

$\log L=m\log p+m\log\lambda-\lambda \sum{z_i}+n\log(1-p)+n\log\mu-\mu \sum{z_i}$

Si je prends les dérivées partielles, cela me dit que mon MLE estime pour et ne sont que la moyenne des est conditionnelle à . C'est, $\lambda$ $\mu$ $Z$ $W$

$\hat{\lambda}=\frac{\sum{Z_i}}{m}$

$\hat{\mu}=\frac{\sum{Z_i}}{n}$

$\hat{p}=\frac{m}{n+m}$

— Ryan Simmons
source

Après avoir répondu à une question MLE similaire aujourd'hui, puis-je vous orienter vers cette solution pour quelques idées? La relation entre les questions est que vos données se décomposent également naturellement en deux groupes disjoints: ceux où

et ceux où

. Tout se résume à écrire la probabilité d'une observation de la forme

; la symétrie entre

, produit immédiatement la vraisemblance des données de la forme

W = 0

$W=0$

W = 1

$W=1$

(Z, W) = (z, 0)

$(Z,W)=(z,0)$

X

$X$

Y

$Y$

μ

$\mu$

λ

$\lambda$

et puis vous êtes parti et en cours d'exécution.

(z, 1)

$(z,1)$

— whuber

Ne vous précipitez pas pour écrire le maximum de vraisemblance! D'abord, exprimer la distribution conjointe de

, puis déduire la vraisemblance associée à l'échantillon de

, qui se trouve être de forme fermée grâce à l'hypothèse exponentielle. Alors et seulement alors vous pouvez essayer de maximiser la fonction et donc d'en déduire le maximum de vraisemblance.

(Z, W)

$(Z,W)$

(Z_{i}, W) =_{i})

$(Z_i,W)=_i)$

— Xi'an

@whuber: (+1) c'est assez simple et implique la séparation entre les

et les

mais les deux groupes impliquent les deux

(z_{i}, 1)

$(z_i,1)$

(z_{i}, 0)

$(z_i,0)$

, car ils apportent des informations sur lesdeux

, puisque

μ

$\mu$

λ

$\lambda$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

W_{i} = I (X_{i} < Y_{i})

$W_i=\mathbb{I}(X_i<Y_i)$

— Xi'an

@ Xi'an C'est vrai - et les parallèles avec l'exemple de la théorie normale que je relie pour continuer à tenir, parce que les deux groupes fournissent des informations sur le paramètre commun

(l'échelle), dont l'estimation impliquera ainsi la "mise en commun" des données de les groupes. Ici, nous verrons que

nous dit comment l'estimation de

(le taux, ou échelle inverse, pour

) doit être répartie en estimations distinctes de

σ

$\sigma$

\bar{W}

$\bar W$

λ + μ

$\lambda+\mu$

Z

$Z$

λ

$\lambda$

μ

$\mu$

— whuber

J'ai lu l'autre fil, whuber, mais honnêtement, je ne comprends pas comment l'appliquer à cet exemple. Z et W ne sont pas indépendants, alors comment puis-je dériver la distribution conjointe?

— Ryan Simmons

Je n'ai pas assez de points à commenter, je vais donc écrire ici. Je pense que le problème que vous postez peut être considéré dans une perspective d'analyse de survie, si vous considérez ce qui suit:

: vrai temps de survie, $X_i$

: temps de censure, $Y_i$

Les deux ont une distribution exponentielle avec et indépendants. Alors est le temps de survie observé et l'indicateur de censure. $X$ $Y$ $Z_i$ $W_i$

Si vous connaissez l'analyse de survie, je pense que vous pouvez commencer à partir de ce point.

Notes: Une bonne source: Analyse des données de survie par DRCox et D.Oakes

Voici un exemple: En supposant que le pdf de la distribution du temps de survie est . Alors la fonction de survie est: . Et la log-vraisemblance est: $f(t)=\rho e^{-\rho t}$ $S(t)=e^{-\rho t}$

$\mathcal{l}= \sum_u \log f(z_i) + \sum_c \log S(z_i)$

$u$ $c$

$f(t)=h(t)S(t)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log h(z_i) + \sum \log S(z_i)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log \rho - \rho \sum z_i$

$\hat{\rho}$ $\rho$

$\hat{\rho}=d/\sum z_i$ $d$ $W_i=1$

— jujae
source