Eh bien, en voici un mais je ne le prouverai pas, je ne le montrerai qu'en simulation.
Faites deux distributions bêta avec des paramètres de grande forme égaux (ici, n = 40 , 000 ), soustrayez 1/2 des valeurs x de l'un d'entre eux et appelez-le "numérateur". Cela nous donne un PDF qui a une plage maximale de ( - 1Bêta ( 200 , 200 )n = 40 , 000X, mais parce que les paramètres de forme sont si grands, nous n'atteignons jamais les valeurs maximales de la plage. Voici un histogramme d'unn=40,000« numérateur »
( - 12,12)n = 40 , 000
Ensuite, nous appelons la deuxième distribution bêta "dénominateur" sans soustraire quoi que ce soit, donc elle a la plage de distribution bêta habituelle de et l'une d'elles ressemble à ceci( 0 , 1 )

Encore une fois, parce que les formes sont si grandes, nous n'abordons pas la plage maximale avec les valeurs. Ensuite, nous traçons le numérateur de quotient sous forme de PDF avec la distribution normale superposée.numérateurdénominateur

Maintenant, dans ce cas, le résultat de la distribution normale a et les tests de normalité qui ressemblent à ceciμ → - 0,0000204825 , σ→ 0,0501789
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜Anderson-DarlingBaringhaus-HenzeCramér-von MisesJarque-Bera ALMKolmogorov-SmirnovKuiperMardia CombinedMardia KurtosisMardia SkewnessPearson χ2Watson U2Statistic0.7997861.405850.1231454.481030.004523280.007980634.481031.538492.09399134.3530.113831P-Value0.4811810.08520170.4828440.1064040.3863350.1091270.1064040.1239290.1478790.5719250.211187⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
En d'autres termes, nous ne pouvons pas prouver que le rapport n'est pas normal, même en essayant très fort de le faire.
Maintenant pourquoi? Intuition de ma part, que j'ai en surabondance. Preuve laissée au lecteur, le cas échéant (peut-être via la limite de la méthode des moments, mais là encore, ce n'est que de l'intuition).
Beta(20,20)Beta(20,20)−12tμ→−0.000251208,σ→0.157665,df→33.0402

Anderson-DarlingCramér-von MisesKolmogorov-SmirnovKuiperPearson χ2Watson U2Statistic0.2752620.03511080.003209360.00556501145.0770.0351042P-Value0.9555020.9565240.8044860.6571460.3231680.878202
N(0,1)N(10,1/1000)→t μ→−0.0000535722,σ→0.0992765,df→244.154

⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜Anderson-DarlingCramér-von MisesKolmogorov-SmirnovKuiperPearson χ2Watson U2Statistic0.5016770.06968240.003556880.00608382142.880.0603207P-Value0.7451020.7535150.6922250.5011330.3705520.590369⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟