Ma suggestion est similaire à ce que vous proposez, sauf que j'utiliserais un modèle de série chronologique au lieu de moyennes mobiles. Le cadre des modèles ARIMA convient également pour obtenir des prévisions incluant non seulement la série MSCI en tant que régresseur, mais également des décalages de la série GCC qui peuvent également saisir la dynamique des données.
Premièrement, vous pouvez ajuster un modèle ARIMA pour la série MSCI et interpoler les observations manquantes dans cette série. Ensuite, vous pouvez ajuster un modèle ARIMA pour la série GCC en utilisant MSCI comme régresseurs exogènes et obtenir les prévisions pour GCC basées sur ce modèle. En faisant cela, vous devez être prudent face aux ruptures qui sont observées graphiquement dans la série et qui peuvent fausser la sélection et l'ajustement du modèle ARIMA.
Voici ce que j'obtiens en faisant cette analyse R. J'utilise la fonction forecast::auto.arimapour faire la sélection du modèle ARIMA et tsoutliers::tsopour détecter d'éventuels décalages de niveau (LS), changements temporaires (TC) ou valeurs aberrantes additives (AO).
Ce sont les données une fois chargées:
gcc <- structure(c(117.709, 120.176, 117.983, 120.913, 134.036, 145.829, 143.108, 149.712, 156.997, 162.158, 158.526, 166.42, 180.306, 185.367, 185.604, 200.433, 218.923, 226.493, 230.492, 249.953, 262.295, 275.088, 295.005, 328.197, 336.817, 346.721, 363.919, 423.232, 492.508, 519.074, 605.804, 581.975, 676.021, 692.077, 761.837, 863.65, 844.865, 947.402, 993.004, 909.894, 732.646, 598.877, 686.258, 634.835, 658.295, 672.233, 677.234, 491.163, 488.911, 440.237, 486.828, 456.164, 452.141, 495.19, 473.926,
492.782, 525.295, 519.081, 575.744, 599.984, 668.192, 626.203, 681.292, 616.841, 676.242, 657.467, 654.66, 635.478, 603.639, 527.326, 396.904, 338.696, 308.085, 279.706, 252.054, 272.082, 314.367, 340.354, 325.99, 326.46, 327.053, 354.192, 339.035, 329.668, 318.267, 309.847, 321.98, 345.594, 335.045, 311.363,
299.555, 310.802, 306.523, 315.496, 324.153, 323.256, 334.802, 331.133, 311.292, 323.08, 327.105, 320.258, 312.749, 305.073, 297.087, 298.671), .Tsp = c(2002.91666666667, 2011.66666666667, 12), class = "ts")
msci <- structure(c(1000, 958.645, 1016.085, 1049.468, 1033.775, 1118.854, 1142.347, 1298.223, 1197.656, 1282.557, 1164.874, 1248.42, 1227.061, 1221.049, 1161.246, 1112.582, 929.379, 680.086, 516.511, 521.127, 487.562, 450.331, 478.255, 560.667, 605.143, 598.611, 609.559, 615.73, 662.891, 655.639, 628.404, 602.14, 601.1, 622.624, 661.875, 644.751, 588.526, 587.4, 615.008, 606.133,
NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 609.51, 598.428, 595.622, 582.905, 599.447, 627.561, 619.581, 636.284, 632.099, 651.995, 651.39, 687.194, 676.76, 694.575, 704.806, 727.625, 739.842, 759.036, 787.057, 817.067, 824.313, 857.055, 805.31, 873.619), .Tsp = c(2007.33333333333, 2014.5, 12), class = "ts")
Étape 1: adapter un modèle ARIMA à la série MSCI
Malgré que le graphique révèle la présence de quelques ruptures, aucune valeur aberrante n'a été détectée par tso. Cela peut être dû au fait qu'il manque plusieurs observations au milieu de l'échantillon. Nous pouvons traiter cela en deux étapes. Tout d'abord, ajustez un modèle ARIMA et utilisez-le pour interpoler les observations manquantes; deuxièmement, ajuster un modèle ARIMA pour la série interpolée en vérifiant les possibles LS, TC, AO et affiner les valeurs interpolées si des changements sont trouvés.
Choisissez le modèle ARIMA pour la série MSCI:
require("forecast")
fit1 <- auto.arima(msci)
fit1
# ARIMA(1,1,2) with drift
# Coefficients:
# ar1 ma1 ma2 drift
# -0.6935 1.1286 0.7906 -1.4606
# s.e. 0.1204 0.1040 0.1059 9.2071
# sigma^2 estimated as 2482: log likelihood=-328.05
# AIC=666.11 AICc=666.86 BIC=678.38
Remplissez les observations manquantes en suivant l'approche discutée dans ma réponse à ce
post :
kr <- KalmanSmooth(msci, fit1$model)
tmp <- which(fit1$model$Z == 1)
id <- ifelse (length(tmp) == 1, tmp[1], tmp[2])
id.na <- which(is.na(msci))
msci.filled <- msci
msci.filled[id.na] <- kr$smooth[id.na,id]
Ajustez un modèle ARIMA à la série remplie msci.filled. Maintenant, des valeurs aberrantes sont trouvées. Néanmoins, en utilisant des options alternatives, différentes valeurs aberrantes ont été détectées. Je garderai celui qui a été trouvé dans la plupart des cas, un changement de niveau en octobre 2008 (observation 18). Vous pouvez essayer par exemple ces options et d'autres.
require("tsoutliers")
tso(msci.filled, remove.method = "bottom-up", tsmethod = "arima",
args.tsmethod = list(order = c(1,1,1)))
tso(msci.filled, remove.method = "bottom-up", args.tsmethod = list(ic = "bic"))
Le modèle choisi est désormais:
mo <- outliers("LS", 18)
ls <- outliers.effects(mo, length(msci))
fit2 <- auto.arima(msci, xreg = ls)
fit2
# ARIMA(2,1,0)
# Coefficients:
# ar1 ar2 LS18
# -0.1006 0.4857 -246.5287
# s.e. 0.1139 0.1093 45.3951
# sigma^2 estimated as 2127: log likelihood=-321.78
# AIC=651.57 AICc=652.06 BIC=661.39
Utilisez le modèle précédent pour affiner l'interpolation des observations manquantes:
kr <- KalmanSmooth(msci, fit2$model)
tmp <- which(fit2$model$Z == 1)
id <- ifelse (length(tmp) == 1, tmp[1], tmp[2])
msci.filled2 <- msci
msci.filled2[id.na] <- kr$smooth[id.na,id]
Les interpolations initiale et finale peuvent être comparées dans un tracé (non illustré ici pour économiser de l'espace):
plot(msci.filled, col = "gray")
lines(msci.filled2)
Étape 2: adapter un modèle ARIMA à GCC en utilisant msci.filled2 comme régresseur exogène
J'ignore les observations manquantes au début de msci.filled2. A ce stade , j'ai trouvé quelques difficultés à utiliser auto.arimaavec tso, alors j'ai essayé à la main plusieurs modèles Arima tsoet ont finalement choisi le ARIMA (1,1,0).
xreg <- window(cbind(gcc, msci.filled2)[,2], end = end(gcc))
fit3 <- tso(gcc, remove.method = "bottom-up", tsmethod = "arima",
args.tsmethod = list(order = c(1,1,0), xreg = data.frame(msci=xreg)))
fit3
# ARIMA(1,1,0)
# Coefficients:
# ar1 msci AO72
# -0.1701 0.5131 30.2092
# s.e. 0.1377 0.0173 6.7387
# sigma^2 estimated as 71.1: log likelihood=-180.62
# AIC=369.24 AICc=369.64 BIC=379.85
# Outliers:
# type ind time coefhat tstat
# 1 AO 72 2008:11 30.21 4.483
Le graphique de GCC montre un changement au début de 2008. Cependant, il semble qu'il ait déjà été capturé par le régresseur MSCI et aucun régresseur supplémentaire n'a été inclus, sauf une valeur aberrante additive en novembre 2008.
Le tracé des résidus n'a pas suggéré de structure d'autocorrélation mais le tracé a suggéré un changement de niveau en novembre 2008 et une valeur aberrante additive en février 2011. Cependant, en ajoutant les interventions correspondantes, le diagnostic du modèle était pire. Une analyse plus approfondie peut être nécessaire à ce stade. Ici, je vais continuer à obtenir les prévisions basées sur le dernier modèle fit3.
95%
newxreg <- data.frame(msci=window(msci.filled2, start = c(2011, 10)), AO72=rep(0, 34))
p <- predict(fit3$fit, n.ahead = 34, newxreg = newxreg)
head(p$pred)
# [1] 298.3544 298.2753 298.0958 298.0641 297.6829 297.7412
par(mar = c(3,3.5,2.5,2), las = 1)
plot(cbind(gcc, msci), xaxt = "n", xlab = "", ylab = "", plot.type = "single", type = "n")
grid()
lines(gcc, col = "blue", lwd = 2)
lines(msci, col = "green3", lwd = 2)
lines(window(msci.filled2, start = c(2010, 9), end = c(2012, 7)), col = "green", lwd = 2)
lines(p$pred, col = "red", lwd = 2)
lines(p$pred + 1.96 * p$se, col = "red", lty = 2)
lines(p$pred - 1.96 * p$se, col = "red", lty = 2)
xaxis1 <- seq(2003, 2014)
axis(side = 1, at = xaxis1, labels = xaxis1)
legend("topleft", col = c("blue", "green3", "green", "red", "red"), lwd = 2, bty = "n", lty = c(1,1,1,1,2), legend = c("GCC", "MSCI", "Interpolated values", "Forecasts", "95% confidence interval"))
