Informations de Fisher observées en cours de transformation

D'après "In All Lik vraisemblance: modélisation statistique et inférence utilisant la vraisemblance" de Y. Pawitan, la probabilité d'une re-paramétrisation $\theta\mapsto g(\theta)=\psi$ est définie comme

L^{*} (ψ) = max_{{θ : g (θ) = ψ}} L (θ)

$L^*(\psi)=\max_{\{\theta:g(\theta)=\psi\}} L(\theta)$ sorte que si

g

$g$ est un- à un, puis

L^{*} (ψ) = L (g^{- 1} (ψ))

$L^*(\psi)=L(g^{-1}(\psi))$ (p. 45). J'essaie de montrer l'exercice 2.20 qui déclare que si

θ

$\theta$ est scalaire (et je suppose que

g

$g$ est également censé être une fonction scalaire), alors

I^{*} (g (\hat{θ})) = I (\hat{θ}) {| \frac{\partial g (\hat{θ})}{\partial \hat{θ}} |}^{- 2},

$I^*(g(\hat{\theta}))=I(\hat{\theta})\left|\frac{\partial g(\hat{\theta})}{\partial \hat{\theta}}\right|^{-2},$ où

I (θ) = - \frac{\partial^{2}}{\partial θ^{2}} l (θ)

$I(\theta)=-\frac{\partial^2}{\partial\theta^2} l(\theta)$ est l'information de Fisher observée et

l (θ) = \log L (θ)

$l(\theta)=\log L(\theta)$ .

Si $g$ est un à un, cela est simple en utilisant la règle de chaîne et le principe d'invariance. Je me pose quelques questions:

Pourquoi insiste-t-il pour écrire la valeur absolue? Cela pourrait être laissé de côté, non?
Par $\frac{\partial g(\hat{\theta})}{\partial \hat{\theta}}$ il entend la fonction $\frac{\partial g(\theta)}{\partial \theta}$ évaluée à $\theta=\hat{\theta}$ , non? Si tel est le cas, n'est-ce pas un mauvais choix de notation? Je crois que la notation abrégée habituelle pour ce monde serait $\frac{\partial g(\hat{\theta})}{\partial \theta}$ .
Comment cela se manifeste-t-il lorsque $g$ n'est pas nécessairement un à un?

— Stefan Hansen
source

La valeur absolue n'est pas nécessaire. Ce n'est peut-être qu'une faute de frappe.
Tu as raison. Une notation encore meilleure serait . $\frac{dg(\theta)}{d\theta}\Bigg|_{\theta=\hat{\theta}}$
Cela ne tient pas en général. Corrigez certains et définissez par . Le rhs serait indéfini car la dérivée est nulle pour chaque . $\psi_0$ $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $g(\theta)=\psi_0$ $\theta$

Un croquis du cas régulier:

Pour un bon-to-one avec . Depuis, , nous avons Par conséquent, $g$ $\psi=g(\theta)$ $d/d\psi = d\theta/d\psi\cdot d/d\theta$

\begin{aligned} I^{*} (ψ) & = - \frac{d^{2} L^{*} (ψ)}{d ψ^{2}} = - \frac{d}{d ψ} (\frac{d L^{*} (ψ)}{d ψ}) = - \frac{d}{d ψ} (\frac{d L^{*} (ψ)}{d θ} \frac{d θ}{d ψ}) \\ = - \frac{d^{2} L^{*} (ψ)}{d θ^{2}} {(\frac{d θ}{d ψ})}^{2} - \frac{d L^{*} (ψ)}{d θ} \frac{d^{2} θ}{d ψ^{2}} \frac{d θ}{d ψ} . \end{aligned}

$\begin{align} I^*(\psi) &= -\frac{d^2L^*(\psi)}{d\psi^2} = -\frac{d}{d\psi}\left(\frac{dL^*(\psi)}{d\psi} \right) = -\frac{d}{d\psi}\left(\frac{dL^*(\psi)}{d\theta} \frac{d\theta}{d\psi}\right) \\ &= - \frac{d^2L^*(\psi)}{d\theta^2}\left(\frac{d\theta}{d\psi}\right)^2 - \frac{dL^*(\psi)}{d\theta}\frac{d^2\theta}{d\psi^2} \frac{d\theta}{d\psi}\, . \end{align}$

\begin{aligned} I^{*} (g (\hat{θ})) & = - \frac{d^{2} L^{*} (g (\hat{θ}))}{d θ^{2}} {(\frac{d θ}{d ψ})}^{2} - \frac{d L^{*} (g (\hat{θ}))}{d θ} \frac{d^{2} θ}{d ψ^{2}} \frac{d θ}{d ψ} \\ = - \frac{d^{2} L (g^{- 1} (g (\hat{θ})))}{d θ^{2}} {(\frac{d g (θ)}{d θ} |_{θ = g^{- 1} (g (\hat{θ}))})}^{- 2} - \frac{d L (g^{- 1} (g (\hat{θ})))}{d θ} \frac{d^{2} θ}{d ψ^{2}} \frac{d θ}{d ψ} \\ = I (\hat{θ}) {(\frac{d g (θ)}{d θ} |_{θ = \hat{θ}})}^{- 2}, \end{aligned}

$\begin{align} I^*(g(\hat{\theta})) &= -\frac{d^2L^*(g(\hat{\theta}))}{d\theta^2}\left(\frac{d\theta}{d\psi}\right)^2 - \frac{dL^*(g(\hat{\theta}))}{d\theta}\frac{d^2\theta}{d\psi^2} \frac{d\theta}{d\psi} \\ &= -\frac{d^2L(g^{-1}(g(\hat{\theta})))}{d\theta^2} \left(\frac{dg(\theta)}{d\theta}\Bigg|_{\theta=g^{-1}(g(\hat{\theta}))}\right)^{-2} - \frac{dL(g^{-1}(g(\hat{\theta})))}{d\theta}\frac{d^2\theta}{d\psi^2} \frac{d\theta}{d\psi} \\ &= I(\hat{\theta}) \left(\frac{dg(\theta)}{d\theta}\Bigg|_{\theta=\hat{\theta}}\right)^{-2} \, , \end{align}$ dans lequel nous avons utilisé .

d L (g^{- 1} (g (\hat{θ}))) / d θ = d L (\hat{θ}) / d θ = 0

$dL(g^{-1}(g(\hat{\theta})))/d\theta=dL(\hat{\theta})/d\theta=0$

— Zen
source

Merci d'avoir répondu à tous mes doutes et pour ce simple contre-exemple avec constant . Votre croquis du cas normal est similaire à ce que j'ai fait, donc tout va bien. Merci.

g

$g$

— Stefan Hansen