Comment développer l'intuition de la probabilité conditionnelle?

Dans les conférences vidéo de Harvard's Statistics 110: Probability course que l'on peut trouver sur iTunes et YouTube, j'ai rencontré ce problème. J'ai essayé de le résumer ici:

Supposons que l'on nous donne une main aléatoire de deux cartes d'un paquet standard.

1. Quelle est la probabilité que les deux cartes soient des as étant donné que nous avons au moins un as?

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{P(both\ aces, have\ ace)}{P(have\ ace)}$$

Comme avoir au moins un as est implicite si vous avez les deux as, l'intersection peut être réduite à seulement$P(both\ aces)$

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{P(both\ aces)}{P(have\ ace)}$$

C'est alors juste

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{4C2\ /\ 52C2}{1-48C2\ /\ 52C2}=\frac{1}{33}$$

2. Quelle est la probabilité que les deux cartes soient des as étant donné que nous avons l'as de pique?

$$P(both\ aces | have\ ace\ of\ spades)=\frac{P(both\ aces, have\ ace\ of\ spades)}{P(have\ ace\ of\ spades)}$$

$$P(both\ aces | have\ ace\ of\ spades)=\frac{(3C1*1C1)\ /\ 52C2}{2!*\frac{51}{52}*\frac{1}{51}}=\frac{1}{17}$$

Maintenant, quelque part le long de ces exemples, je me suis perdu ...

Ce dernier est évidemment le même que , ce qui a beaucoup de sens (pour moi) que ce serait la réponse. Si on vous dit que vous avez l'as de (disons) pique, alors vous savez qu'il y a as de plus et cartes de plus.$\frac{3}{51}$$3$$51$

Mais dans le premier exemple, les mathématiques semblent bien (et je crois que le professeur ne donnerait pas cet exemple s'il était incorrect ...), mais je ne peux pas envelopper ma tête autour de cela.

Comment obtenir une certaine intuition pour ce problème?

Pour faciliter l'intuition, envisagez de visualiser deux événements (ensembles de résultats):

1. L'événement de conditionnement, qui est l'information donnée.

2. L'événement conditionné, dont vous aimeriez trouver la probabilité.

La probabilité conditionnelle est trouvée en divisant la chance du second par la chance du premier.

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Il existe façons tout aussi probables de distribuer deux cartes au hasard. Un moyen pratique de visualiser ces accords consiste à les disposer dans un tableau avec des lignes (disons) désignant la première carte distribuée et des colonnes sur la deuxième carte de l'accord. Voici une partie de ce tableau, avec des ellipses ( ⋯ ) désignant les parties manquantes. Notez que parce que les deux cartes ne peuvent pas être identiques, aucune entrée n'existe le long de la diagonale principale du tableau. Les lignes et les colonnes sont classées des as aux rois:$52 \times 51$$\cdots$

Les questions portent sur les as. L'information "nous avons au moins un as" localise la paire dans les quatre premières lignes ou les quatre premières colonnes. Dans notre esprit, nous pouvons visualiser cela schématiquement en coloriant ces lignes et colonnes. Je les ai colorés en rouge, mais là où les deux as apparaissent, je les ai colorés en noir:

$2\times 6 = 12$$2\times (4\times 48) = 384$$12+384=396$

$$\frac{12}{396} = \frac{1}{33}.$$

C'est la fraction noire de la région rouge + noir.

La deuxième question affirme "nous avons l'as de pique". Cela correspond uniquement à la toute première ligne et colonne:

$2\times 3 = 6$$2\times 48=96$$96+6 = 102$

$$\frac{6}{102} = \frac{1}{17}.$$

Encore une fois, c'est la fraction noire de la région rouge + noir.

$12$$6$

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J'ai trouvé de telles figures schématiques utiles même - peut-être surtout - lorsque j'essaie de comprendre des concepts de probabilité plus compliqués, tels que les filtrations d'algèbres sigma .

Une autre façon de configurer un problème qui mène au deuxième calcul est la suivante:

Vous piochez deux cartes du jeu. Quelle est la probabilité de deux as étant donné que la première carte que vous avez tirée était un as?

Cette formulation facilite le contraste avec le premier calcul. La chance sous-jacente d'avoir choisi deux as ne change pas, mais la condition pour avoir la première carte en tant qu'as est plus restrictive que la condition si l'un ou l'autre est un as. Cela signifie que dans le calcul de la probabilité conditionnelle, la combinaison souhaitée doit se produire parmi moins d'options, donc elle a une probabilité plus élevée.

Les deux phrasés différents (as de pique contre première carte comme as) sont similaires, car ils brisent la symétrie / l'échange entre les as: la combinaison ou l'ordre ne peuvent pas être arbitrairement échangés.

Au début, il m'était difficile d'avoir une certaine intuition.

Une idée est de limiter le problème. Dans ce cas, comme Steve l'a noté, un problème identique est: mon voisin a deux enfants - vous savez que l'un d'eux est un garçon. Quelle est la probabilité qu'elle ait deux garçons.

La première idée est, ok, j'ai un garçon, l'autre enfant a 1/2 chance d'être une fille et 1/2 d'être un garçon, mais dans ce cas, vous ne prenez pas toutes les informations qui vous donnent le fait ( au moins vous avez un garçon) car il est implicite que ce garçon peut être le plus jeune enfant étant le plus âgé une fille ou vice-versa ou les deux sont des garçons, ce qui signifie qu'un seul des trois résultats possibles est favorable.

Comme je l'ai dit, c'est plus facile de prendre le problème à sa limite ...

Cas 1: Cas abstrait identique à "nous avons un as" -> Dans ce cas, imagine mon voisin n'a pas 2 enfants mais 27, et vous savez que 26 sont des garçons, la probabilité de ceci est presque nulle. Dans ce cas, il est clair que ces informations vous donnent beaucoup d'informations sur le fait que l'enfant resté probabiliste est une fille. Pour être précis, vous aurez un cas avec 27 garçons, disons un tuple (b, b, b, b, b, b ..., b) et 27 cas avec 1 fille et 26 garçons (g, b, b , b ...), (b, g, b, b, b ...), donc la probabilité pour tous les garçons est de 1/27, en général ce sera 1 / (N + 1)

case2: Information concrète. Ce serait identique à "Nous avons l'as de pique" ou "nous avons la première carte étant un as". Dans ce cas, imaginez que notre voisin a 26 enfants tous garçons et est enceinte du 27. Quelle est la probabilité que le 27 soit un garçon?

Avec case2, je suis sûr que nous pouvons tous avoir une compréhension de l'intuition nécessaire pour ce genre de problèmes de probabilités conditionnelles pas si évidents.

Si vous voulez devenir riche, vous devez parier sur le premier cas avec 26 garçons et un 27 car le manque d'informations concrètes signifie beaucoup d'énergie probabiliste sur l'enfant restant alors que dans le second cas, l'entropie est énorme, nous avons pas d'informations pour savoir où parier.

J'espère que c'est utile

Comment peut-on dire que la réponse est 3/51 sans calculer?

Si vous avez pris l'as de pique en premier lieu. Je sais quelles cartes sont dans le paquet. Il y a donc encore 3 as sur 51 cartes. donc pour le second, vous avez 3/51 chances d'avoir deux as.

Et comment comprendre intuitivement la différence entre les deux scénarios?

C'est parce que "Avoir un as" est inclus dans "Avoir deux as". Mais "Avoir l'as de pique" n'est pas inclus dans "Avoir deux as". Voilà la différence.

En fait, si vous avez deux as, vous en avez un mais peut-être pas l'as de pique Donc ce n'est pas la même probabilité.

Cette réponse était pour un autre poste qui a été déplacé sur celui-ci ..